Solutions
II.3.12. Avec la formule de Taylor avec reste de Peano (voir II.3.1), on a
(a)
lim
h→0
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
h 2
= lim
h→0
f (x) + hf (x) +
h 2
2 f (x) + o
h 2
h 2
−
2f (x) − f (x) + hf (x) −
h 2
2 f (x) + o
h 2
h 2
= f
(x).
(b)
lim
h→0
f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)
h 2
= lim
h→0
h 2 f (x) + o
4h 2 − 2o
h 2
h 2
= f
(x).
II.3.13. On peut, comme dans la solution du problème précédent, appliquer
la formule de Taylor avec reste de Peano (voir II.3.1).
II.3.14.
(a) La formule de Taylor donne, pour x > 0,
e
x =
n
k=0
x k
k!
+
x n+1
(n + 1)!
e
θx >
n
k=0
x k
k!
.
(b) On a, pour x > 0,
ln(1 + x) = x −
x 2
2
+
x 3
3
−
x 4
4
+
x 5
5
1
(1 + θ 1 x)
5 > x −
x 2
2
+
x 3
3
−
x 4
4
.
De même, pour x > −1, x = 0,
ln(1 + x) = x −
x 2
2
+
x 3
3
−
x 4
4
1
(1 + θ 2 x)
4 < x −
x 2
2
+
x 3
3
.
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