Chapitre II. Dérivation
II.3.9.
(a) D’après la formule de Taylor, on a
f (0) = f (x + (−x)) = f (x) +
f (x)
1!
(−x) +
f (x)
2!
(−x)
2
+
f (n) (x)
n!
(−x)
n +
f (n+1) (x − θ 1 x)
(n + 1)!
(−x)
n+1 .
On obtient l’égalité demandée en prenant θ = 1 − θ 1 .
(b) Observez que f
x
1+x
= f
x −
x 2
1+x
et procédez comme en (a).
II.3.10. On a
f (x) = f
x
2
+
x
2
= f
x
2
+
f x
2
1!
x
2
+ . . . +
f (2n) x
2
(2n)!
x
2
2n
+
f (2n+1) x
2 + θ 1
x
2
(2n + 1)!
x
2
2n+1
.
De même,
f (0) = f
x
2
−
x
2
= f
x
2
−
f x
2
1!
x
2
+ . . . +
f (2n) x
2
(2n)!
x
2
2n
−
f (2n+1) x
2 + θ 2
x
2
(2n + 1)!
x
2
2n+1
.
En soustrayant une égalité à l’autre, on obtient
f (x) = f (0) +
2
1!
f
x
2
x
2
+
2
3!
f
(3)
x
2
x
2
3
+ . . . +
2
(2n − 1)!
f
(2n−1)
x
2
x
2
2n−1
+
f (2n+1) x
2 + θ 1
x
2
+ f (2n+1) x
2 + θ 2
x
2
(2n + 1)!
x
2
2n+1
.
Le résultat cherché se déduit alors du fait qu’une dérivée vérifie la propriété
des valeurs intermédiaires (voir II.2.31).
II.3.11. On applique le problème précédent en prenant f (x) = ln(1+x) pour
x > 0 et on remarque que les dérivées d’ordre impair de f sont strictement
positives pour x > 0.
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