Solutions
II.3.6. La formule de Taylor avec reste de Lagrange (voir II.3.3(a)) donne
√
1 + x = 1 +
1
2
x −
1
8
x
2 +
3
3! × 8
(1 + θx)
−
5
2 x
3
pour un certain 0 < θ < 1. Donc, pour |x| <
1
2 ,
√
1 + x −
1 +
1
2 x −
1
8 x
2
3 |x|
3
48
1
2
5
2
=
√
2 |x|
3
4
1
2
|x|
3 .
II.3.7. En appliquant la formule de Taylor avec reste de Lagrange
(voir II.3.3) à f (x) = (1 + x)
α , on obtient
(1 + x)
α = 1 + αx +
α(α − 1) (1 + θx)
α−2
2
x
2
pour un certain 0 < θ < 1. Il suffit alors de remarquer que
α(α − 1) (1 + θx)
α−2
2
> 0 pour α > 1 ou α < 0
et
α(α − 1) (1 + θx)
α−2
2
< 0 pour 0 < α < 1.
II.3.8. La formule de Taylor donne
f (x) − f (0)
g(x) − g(0)
=
f (0)x +
1
2 f (θ 1 (x))x 2
g (0)x +
1
2 g (θ 2 (x))x 2 .
D’autre part, d’après le théorème des accroissements finis, on a
f (θ(x))
g (θ(x))
=
f (0)x + θ(x)f (θ 3 (x))
g (0)x + θ(x)g (θ 4 (x)
.
En utilisant les égalités précédentes et la continuité de f et de g en 0, on
vérifie facilement que
lim
x→0 +
θ(x)
x
=
1
2
.
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