Chapitre II. Dérivation
D’après le théorème des accroissements finis généralisé, on a
ϕ(x) − ϕ(x 0 )
ψ(x) − ψ(x 0 )
=
ϕ (c)
ψ (c)
,
où ψ est une fonction continue sur [x 0 , x], dérivable et dont la dérivée ne
s’annule pas sur ]x 0 , x[. Les relations (1) et (2) donnent alors
r n (x) =
ψ(x) − ψ(x 0 )
ψ (c)
·
f (n+1) (c)
n!
(x − c)
n .
En prenant ψ(z) = (x − z)
p et en écrivant c = x 0 + θ(x − x 0 ), on arrive à
r n (x) =
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ))
n! p
(1 − θ)
n+1−p (x − x 0 )
n+1 .
II.3.3. Ces résultats sont des cas particuliers du problème précédent. Il suffit
en effet de prendre
(a) p = n + 1,
(b) p = 1.
II.3.4. Une intégration par parties donne
f (x) − f (x 0 ) =
x
x 0
f
(t) dt = −(x − t)f
(t)
x
x 0
+
x
x 0
(x − t)f
(t) dt.
Donc,
f (x) = f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) +
x
x 0
(x − t)f
(t) dt.
Il suffit de répéter n fois le même raisonnement pour arriver à la version demandée de la formule de Taylor.
II.3.5. Pour n = 1,
R 2 (x) =
x
x 0
t 2
x 0
f
(2) (t 1 ) dt 1 dt 2 =
x
x 0
(f
(t 2 ) − f
(x 0 )) dt 2
= f (x) − f (x 0 ) − (x − x 0 )f
(x 0 ).
On arrive à la formule demandée par récurrence.
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