Solutions
de P (p) , on a alors P (p−1) (x) > P (p−1) (0) > 0 pour x = 0, contradiction. Si
P (p) a des racines non nulles, on note x 0 = 0 la plus proche de 0. Il y a donc
une racine de P (p−1) entre 0 et x 0 . D’autre part, P (p−1) (x) > 0 sur l’intervalle
ouvert d’extrémités 0 et x 0 , contradiction.
II.3. Formule de Taylor et règle de L’Hospital
II.3.1. On remarque que pour n = 1, la formule se déduit immédiatement
de la définition de f (x 0 ). Pour n > 1, on pose
r n (x) = f (x) −
f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + . . . +
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
.
On a r n (x 0 ) = r
n (x 0 ) = . . . = r
(n)
n (x 0 ) = 0 et, par définition de la dérivée
n-ième,
r
(n−1)
n
(x) = r
(n−1)
n
(x) − r
(n−1)
n
(x 0 ) = r
(n)
n (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 ),
d’où r
(n−1)
n
(x) = o(x − x 0 ). En utilisant le théorème des accroissements finis,
on obtient
r
(n−2)
n
(x) = r
(n−2)
n
(x) − r
(n−2)
n
(x 0 ) = r
(n−1)
n
(c)(x − x 0 ),
c étant un point de l’intervalle ouvert d’extrémités x et x 0 . On voit que
r
(n−2)
n
(x) = o
(x − x 0 )
2
car |c − x 0 | < |x − x 0 |. En répétant n fois le procédé, on obtient r n (x) = o ((x − x 0 )
n ).
II.3.2. Pour x, x 0 ∈ [a , b], on pose
r n (x) = f (x) −
f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + . . . +
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
.
On peut supposer, sans perte de généralité, que x > x 0 . Sur [x 0 , x], on définit
la fonction auxiliaire ϕ par
ϕ(z) = f (x) −
f (z) +
f (z)
1!
(x − z) + . . . +
f (n) (z)
n!
(x − z)
n
.
On a
ϕ(x 0 ) = r n (x) et ϕ(x) = 0.
(1)
De plus, ϕ existe sur ]x 0 , x[ et
ϕ
(z) = −
f (n+1) (z)
n!
(x − z)
n .
(2)
201