Solutions
II.2.8. D’après le théorème de Rolle, entre deux zéros réels du polynôme P ,
il existe au moins un zéro de P . De plus, chaque zéro de P d’ordre k (k 2)
est un zéro de P d’ordre k − 1. Il y a donc n − 1 zéros de P , comptés avec
leur multiplicité.
II.2.9. D’après le théorème de Rolle appliqué à f sur [a , b], il existe c ∈ ]a , b[
tel que f (c) = 0. En appliquant alors le théorème de Rolle à f sur [a , c], on
voit qu’il existe x 1 ∈ ]a , c[ ⊂ ]a , b[ tel que f (x 1 ) = 0.
II.2.10. Appliquez un raisonnement semblable à celui utilisé dans la solution
du problème précédent.
II.2.11.
(a) On pose P (x) = x 13 + 7x 3 − 5. On a P (0) = −5 et lim
x→∞
P (x) = +∞.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, P admet au moins une
racine strictement positive. S’il en admettait deux, le théorème de Rolle
impliquerait que P (x 0 ) = 0 pour un certain x 0 > 0. Ceci contredit le
fait que P (x) = 0 si et seulement si x = 0. Pour finir, on remarque que
P (x) < 0 pour x < 0.
(b) On considère la fonction
f (x) =
3
5
x
+
4
5
x
− 1.
On a f (2) = 0. Si f s’annule en un autre point, d’après le théorème de
Rolle, sa dérivée s’annule alors en au moins un point, contredisant le fait
que f (x) < 0 pour tout x ∈ R.
II.2.12. On procède par récurrence. Pour n = 1, l’équation a 1 x α 1 = 0 n’a
pas de racine dans R ∗
+ . On suppose que, pour n ∈ N ∗ donné, l’équation
a 1 x
α 1 + a 2 x
α 2 + . . . + a n x
αn = 0
admet au plus n − 1 racines dans R ∗
+ et considère l’équation
a 1 x
α 1 + a 2 x
α 2 + . . . + a n x
αn + a n+1 x
α n+1 = 0
que l’on peut réécrire sous la forme
a 1 + a 2 x
α 2 −α 1 + . . . + a n+1 x
α n+1 −α 1 = 0.
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II.2.8. D’après le théorème de Rolle, entre deux zéros réels du polynôme P ,
il existe au moins un zéro de P . De plus, chaque zéro de P d’ordre k (k 2)
est un zéro de P d’ordre k − 1. Il y a donc n − 1 zéros de P , comptés avec
leur multiplicité.
II.2.9. D’après le théorème de Rolle appliqué à f sur [a , b], il existe c ∈ ]a , b[
tel que f (c) = 0. En appliquant alors le théorème de Rolle à f sur [a , c], on
voit qu’il existe x 1 ∈ ]a , c[ ⊂ ]a , b[ tel que f (x 1 ) = 0.
II.2.10. Appliquez un raisonnement semblable à celui utilisé dans la solution
du problème précédent.
II.2.11.
(a) On pose P (x) = x 13 + 7x 3 − 5. On a P (0) = −5 et lim
x→∞
P (x) = +∞.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, P admet au moins une
racine strictement positive. S’il en admettait deux, le théorème de Rolle
impliquerait que P (x 0 ) = 0 pour un certain x 0 > 0. Ceci contredit le
fait que P (x) = 0 si et seulement si x = 0. Pour finir, on remarque que
P (x) < 0 pour x < 0.
(b) On considère la fonction
f (x) =
3
5
x
+
4
5
x
− 1.
On a f (2) = 0. Si f s’annule en un autre point, d’après le théorème de
Rolle, sa dérivée s’annule alors en au moins un point, contredisant le fait
que f (x) < 0 pour tout x ∈ R.
II.2.12. On procède par récurrence. Pour n = 1, l’équation a 1 x α 1 = 0 n’a
pas de racine dans R ∗
+ . On suppose que, pour n ∈ N ∗ donné, l’équation
a 1 x
α 1 + a 2 x
α 2 + . . . + a n x
αn = 0
admet au plus n − 1 racines dans R ∗
+ et considère l’équation
a 1 x
α 1 + a 2 x
α 2 + . . . + a n x
αn + a n+1 x
α n+1 = 0
que l’on peut réécrire sous la forme
a 1 + a 2 x
α 2 −α 1 + . . . + a n+1 x
α n+1 −α 1 = 0.
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