Chapitre II. Dérivation
On montre alors par récurrence que la dérivée n-ième de f est combinaison
linéaire de f et de f .
Si α = 0, alors β = 0 et f (x) =
−γ
β f (x). On obtient, de nouveau par
récurrence,
f
(n) (x) = (−1)
n γ n
β n f (x).
II.2. Théorème des accroissements finis
II.2.1. La fonction auxiliaire h(x) = e αx f (x), x ∈ [a , b], vérifie les hypothèses du théorème de Rolle. Il existe donc x 0 ∈ ]a , b[ tel que
0 = h
(x 0 ) =
αf (x 0 ) + f
(x 0 )
e
αx 0 ,
d’où αf (x 0 ) + f (x 0 ) = 0.
II.2.2. La fonction h(x) = e g(x) f (x), x ∈ [a , b], vérifie les hypothèses du
théorème de Rolle. Il existe donc x 0 ∈ ]a , b[ tel que
0 = h
(x 0 ) =
g
(x 0 )f (x 0 ) + f
(x 0 )
e
g(x 0 ) ,
d’où g (x 0 )f (x 0 ) + f (x 0 ) = 0.
II.2.3. Appliquez le théorème de Rolle à la fonction h(x) =
f (x)
x , x ∈ [a , b].
II.2.4. Considérez h(x) = f 2 (x) − x 2 (x ∈ [a , b]) et appliquez le théorème
de Rolle.
II.2.5. Appliquez le théorème de Rolle à la fonction h(x) =
f (x)
g(x) , x ∈ [a , b].
II.2.6. On remarque que le polynôme
Q(x) =
a 0
n + 1
x
n+1 +
a 1
n
x
n + . . . + a n x
vérifie les hypothèses du théorème de Rolle sur l’intervalle [0 , 1].
II.2.7. La fonction
h(x) =
a n
n + 1
ln
n+1 x + . . . +
a 2
3
ln
3 x +
a 1
2
ln
2 x +
a 0
1
ln x, x ∈
1 , e
2
,
vérifie les hypothèses du théorème de Rolle.
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