Solutions
II.1.39.
(a) On a
f
(x) =
2
x 3 e
−
1
x 2
si x = 0,
0
si x = 0
car (voir I.1.12)
lim
x→0
e
−
1
x 2
x
= 0.
Il s’ensuit que f est continue sur R. De plus, pour x = 0, on a
f
(x) = e
−
1
x 2
4
x 6 −
2 × 3
x 4
.
De nouveau, en utilisant I.1.12, on montre que f (0) = 0 et f est aussi
continue sur R. On remarque finalement que
f
(n) (x) =
e
−
1
x 2 P
1
x
si x = 0,
0
si x = 0,
P étant un polynôme. On en déduit que f (n) est continue sur R pour
tout n ∈ N.
(b) Comme en (a), on montre que g (n) (0) = 0 pour tout n ∈ N ∗ et que g
appartient à C ∞
R .
(c) La fonction est le produit de deux fonctions f 1 , f 2 ∈ C ∞
R , en prenant
f 1 (x) = g(x − a) et f 2 (x) = g(b − x), g étant définie en (b).
II.1.40. On a
f
(x) = g
(f (x))f
(x) = g
(f (x))g(f (x)),
f
(x) = g
(f (x))(g(f (x)))
2 + (g
(f (x)))
2 g(f (x)).
Les fonctions f et f sont donc continues sur ]a , b[. On montre par récurrence que f (n) , n 3, est la somme de produits des dérivées g (k) (f ),
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Elle est donc continue sur ]a , b[.
II.1.41. Si α = 0,
f
(x) =
−βf (x) − γf (x)
α
.
Donc,
f
(x) =
−βf (x) − γf (x)
α
=
β 2 − γα
f (x) + γβf (x)
α 2
.
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