Chapitre II. Dérivation
En combinant maintenant (7) à (2) et (4), on obtient
L, x
n
= a
n−1
k=0
n − 1
k
M, x
k+1
L, x
n−1−k
= a
n−1
k=0
n − 1
k
M
, x
k
L, x
n−1−k
= a
M
L, x
n−1
.
Donc,
L , x n−1
= a
M L, x n−1
ou, dit autrement,
L
= aM
L.
Cette équation différentielle formelle admet des solutions de la forme L =
ce a(M −g 0 ) , et c étant une constante réelle. Les conditions initiales donnent
1 = B 0 = L, 1 =
ce a(M −g 0 ) , 1
= c et L = e a(M −g 0 ) . Il s’ensuit que
B n = L, x
n
=
e
a(M −g 0 ) , x
n
=
+∞
k=0
a k
k!
(M − g 0 )
k , x
n
=
+∞
k=0
a k
k!
n
j 1 ,...,j k =0
j 1 +...+j k =n
n!
j 1 !j 2 ! · · · j k !
M − g 0 , x
j 1
M − g 0 , x
j 2
· · ·
M − g 0 , x
j k
=
+∞
k=0
a k
k!
n
j 1 ,...,j k =1
j 1 +...+j k =n
n!
j 1 !j 2 ! · · · j k !
g j 1 g j 2 · · · g j k .
En identifiant les coefficients de a k dans (6), on obtient
l n,k (g 1 , g 2 , . . . , g n ) =
n!
k!
n
j 1 ,...,j k =1
j 1 +...+j k =n
g j 1
j 1 !
g j 2
j 2 !
· · ·
g j k
j k !
=
n!
k!
n
k 1 ,...,kn=0
k 1 +...+kn=k
k 1 +2k 2 +...+nkn=n
k!
k 1 ! · · · k n !
g 1
1!
k 1 g 2
2!
k 2 · · ·
g n
n!
kn
.
Finalement,
n
k=1
f k l n,k (g 1 , g 2 , . . . , g n ) =
n
k=1
f k
n
k 1 ,...,kn=0
k 1 +...+kn=k
k 1 +2k 2 +...+nkn=n
n!
k 1 ! · · · k n !
g 1
1!
k 1 · · ·
g n
n!
kn
,
ce qui complète la démonstration.
188