Chapitre II. Dérivation
Si cette dernière équation admet plus de n racines strictement positives, d’après
le théorème de Rolle, la dérivée de la fonction dans le premier membre de l’égalité admet au moins n racines strictement positives, ce qui contredit l’hypothèse
de récurrence.
II.2.13. Appliquez le résultat du problème précédent en remplaçant x par e x .
II.2.14. Clairement, F (a) = F (b) = 0 et F est continue sur [a , b]. De plus,
F est dérivable sur ]a , b[ et
F
(x) = det
⎛
⎝
f (x) g (x) h (x)
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
⎞
⎠ .
D’après le théorème de Rolle, il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que F (x 0 ) = 0.
En prenant g(x) = x et h(x) = 1 pour x ∈ [a , b], on obtient
F
(x 0 ) = det
⎛
⎝
f (x 0 ) 1 0
f (a) a 1
f (b) b 1
⎞
⎠ = 0,
ce qui donne f (b) − f (a) = f (x 0 )(b − a). On a donc obtenu le théorème des accroissements finis. Pour obtenir le théorème des accroissements finis généralisé,
il suffit de prendre h(x) ≡ 1.
II.2.15. Le théorème des accroissements finis implique qu’il existe x 1 ∈ ]0 , 1[
et x 2 ∈ ]1 , 2[ tels que
f
(x 1 ) = f (1) − f (0) = 1 et f
(x 2 ) = f (2) − f (1) = 1.
La proposition se déduit alors du théorème de Rolle appliqué à f sur [x 1 , x 2 ].
II.2.16. Puisque f n’est pas une fonction affine, il existe c ∈ ]a , b[ tel que
f (c) < f(a) +
f (b) − f (a)
b − a
(c − a) ou f (c) > f(a) +
f (b) − f (a)
b − a
(c − a) .
On suppose, par exemple, que
f (c) < f(a) +
f (b) − f (a)
b − a
(c − a) .
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