Solutions
(c) On note que
lim
n→+∞
ln
1 +
a
n 2
1 +
2a
n 2
· · ·
1 +
na
n 2
= lim
n→+∞
ln
1 +
a
n 2
+ ln
1 +
2a
n 2
+ . . . + ln
1 +
na
n 2
= lim
n→+∞
ln
1
a
+
1
n 2
+ . . . + ln
1
a
+
n
n 2
− n ln
1
a
.
Le résultat de II.1.10(d) implique alors
lim
n→+∞
1 +
a
n 2
1 +
2a
n 2
· · ·
1 +
na
n 2
= e
a
2 .
II.1.12. On a
lim
x→0
1
x
f (x) + f
x
2
+ f
x
3
+ . . . + f
x
k
= lim
x→0
f (x) − f (0)
x
+
f
x
2
− f (0)
x
+ . . . +
f
x
k
− f (0)
x
=
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +
1
k
f
(0).
II.1.13.
(a) Si f (x) = x m (m ∈ N ∗ ), alors
lim
n→+∞
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
= lim
n→+∞
x m
n − z m
n
x n − z n
= ma
m−1 = f
(a).
(b) Considérez la fonction définie par
f (x) =
x 2 sin
1
x
si x = 0,
0
si x = 0.
Pour
x n =
2
π(4n + 1)
et z n =
1
2nπ
,
on a
lim
n→+∞
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
= −
2
π
= 0 = f
(0).
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