Chapitre II. Dérivation
D’autre part, si
g(x) =
x
3
2 sin
1
x
si x = 0,
0
si x = 0
et si on prend {x n } et {z n } comme précédemment, alors
lim
n→+∞
g(x n ) − g(z n )
x n − z n
= −∞.
II.1.14. D’après les hypothèses,
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
=
f (x n ) − f (a)
x n − a
·
x n − a
x n − z n
+
f (z n ) − f (a)
z n − a
·
a − z n
x n − z n
,
où
0 <
a − z n
x n − z n
< 1 , 0 <
x n − a
x n − z n
< 1
et
a − z n
x n − z n
+
x n − a
x n − z n
= 1.
Il s’ensuit que
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
est compris entre
f (x n ) − f (a)
x n − a
et
f (z n ) − f (a)
z n − a
.
Le théorème des gendarmes donne alors
lim
n→+∞
f (x n ) − f (z n )
x n − z n
= f
(a).
II.1.15. [W. R. Jones, M. D. Landau, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 816-817].
(a) On note d’abord que f n’est continue qu’en 1. Si {x n } est une suite de
rationnels différents de 1 qui converge vers 1, alors
lim
n→+∞
f (x n ) − 1
x n − 1
= lim
n→+∞
(x n + 1) = 2.
Si {x n } est une suite d’irrationnels convergente vers 1, alors
lim
n→+∞
f (x n ) − 1
x n − 1
= lim
n→+∞
2 = 2.
Donc, f (1) = 2. Clairement, f est injective sur ]0 , 2[. La fonction réciproque est définie sur ]0 , 3[, excepté pour les rationnels dont la racine est
irrationnelle. L’ensemble de définition de f −1 est donc d’intérieur vide
et on ne peut pas définir
f −1 (1).
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