Chapitre II. Dérivation
(d) Pour k ∈ N ∗ ,
lim
n→+∞
f
a +
k
n 2
− f (a)
k
n 2
= f
(a).
Ceci implique que, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
k
n 2 f
(a) −
k
n 2 ε < f
a +
k
n 2
− f (a) <
k
n 2 f
(a) +
k
n 2 ε
pour k ∈ {1, 2, . . . , n} si n n 0 . En sommant sur k, on obtient
n(n + 1)
2n 2 f
(a) −
n(n + 1)
2n 2 ε <
n
k=1
f
a +
k
n 2
− f (a)
<
n(n + 1)
2n 2 f
(a) +
n(n + 1)
2n 2 ε.
Il s’ensuit que la limite est égale à
1
2 f (a).
II.1.11.
(a) On a
lim
n→+∞
(n + 1)
m + (n + 2)
m + . . . + (n + k)
m
n m−1
− kn
= lim
n→+∞
(n + 1)
m
− n m + (n + 2)
m
− n m + . . . + (n + k)
m
− n m
n m−1
= lim
n→+∞
1 +
1
n
m − 1
1
n
+ 2
1 +
2
n
m − 1
2
n
+ . . . + k
1 +
k
n
m − 1
k
n
=
k(k + 1)
2
m.
Comparez avec II.1.10(c).
(b) D’après II.1.10(c), on a
lim
n→+∞
ln
a +
1
n
n
a +
2
n
n · · ·
a +
k
n
n
a nk
=
k(k + 1)
2
×
1
a
.
Donc,
lim
n→+∞
a +
1
n
n
a +
2
n
n · · ·
a +
k
n
n
a nk
= e
k(k+1)
2a
.
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