Chapitre II. Dérivation
une puissance de g(x) d’ordre au moins n (comparez avec II.1.38). La
dérivée n-ième de x → (e x − 1)
2n en 0 est donc nulle. En conséquence,
2n
k=0
(−1)
k
2n
k
k
n = 0.
(c) En dérivant l’égalité
n
k=1
sin(kx) =
sin
nx
2 sin
(n+1)x
2
sin
x
2
, x = 2lπ, l ∈ Z,
on obtient
n
k=1
k cos(kx) =
n sin
x
2 sin
(2n+1)x
2
− sin
2 nx
2
2 sin
2 x
2
, x = 2lπ, l ∈ Z.
Pour x = 2lπ,
n
k=1
k cos(kx) =
n(n + 1)
2
.
II.1.7. On pose f (x) = a 1 sin x + a 2 sin 2x + . . . + a n sin nx. On a alors
|a 1 + 2a 2 + . . . + na n | =
f
(0)
= lim
x→0
f (x) − f (0)
x
= lim
x→0
f (x)
sin x
×
sin x
x
= lim
x→0
f (x)
sin x
1.
II.1.8.
(a) On a
lim
x→a
xf (a) − af (x)
x − a
= lim
x→a
(x − a)f (a) − a(f (x) − f (a))
x − a
= f (a) − af
(a).
(b) Comme en (a), on a
lim
x→a
f (x)g(a) − f (a)g(x)
x − a
= lim
x→a
(f (x) − f (a))g(a) − f (a)(g(x) − g(a))
x − a
= f
(a)g(a) − f (a)g
(a).
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