Solutions
II.1.5.
(a) Puisque f doit être continue, on obtient c = 0 et a + b = 1. Puisque
f
− (0) = 4 et f
+ (0) = b, on obtient b = 4 et a = −3. On vérifie facilement que pour de tels a, b et c, la fonction f est dérivable sur R.
(b) a = d = −1, b = 0, c = 1.
(c) b = c = 1, a = 0, d =
1
4 .
II.1.6.
(a) Pour x = 0,
n
k=0
e
kx =
1 − e (n+1)x
1 − e x .
En dérivant les deux membres de cette égalité, on obtient
n
k=0
ke
kx =
ne (n+2)x − (n + 1) e (n+1)x + e x
(1 − e x )
2
.
(b) En dérivant n fois les deux membres de l’égalité
2n
k=0
(−1)
k
2n
k
e
kx = (e
x
− 1)
2n ,
on obtient
2n
k=0
(−1)
k k
n e
kx
2n
k
=
(e
x
− 1)
2n
(n)
.
Pour calculer
(e x − 1)
2n
(n)
en 0, on pose g(x) = e x − 1 et on note que
la dérivée n-ième de (g(x)) 2n est une somme dont chaque terme contient
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II.1.5.
(a) Puisque f doit être continue, on obtient c = 0 et a + b = 1. Puisque
f
− (0) = 4 et f
+ (0) = b, on obtient b = 4 et a = −3. On vérifie facilement que pour de tels a, b et c, la fonction f est dérivable sur R.
(b) a = d = −1, b = 0, c = 1.
(c) b = c = 1, a = 0, d =
1
4 .
II.1.6.
(a) Pour x = 0,
n
k=0
e
kx =
1 − e (n+1)x
1 − e x .
En dérivant les deux membres de cette égalité, on obtient
n
k=0
ke
kx =
ne (n+2)x − (n + 1) e (n+1)x + e x
(1 − e x )
2
.
(b) En dérivant n fois les deux membres de l’égalité
2n
k=0
(−1)
k
2n
k
e
kx = (e
x
− 1)
2n ,
on obtient
2n
k=0
(−1)
k k
n e
kx
2n
k
=
(e
x
− 1)
2n
(n)
.
Pour calculer
(e x − 1)
2n
(n)
en 0, on pose g(x) = e x − 1 et on note que
la dérivée n-ième de (g(x)) 2n est une somme dont chaque terme contient
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