Chapitre II. Dérivation
De plus,
f
+ (1) = lim
x→1 +
1
e −
1
e
x − 1
= 0,
f
− (1) = lim
x→1 −
x 2 e −x 2 −
1
e
x − 1
=
x
2 e
−x 2
|x=1
= 0.
Puisque que f est paire, f (−1) = 0.
(c) On remarque que f est continue en 0. De plus,
f
+ (0) = lim
x→0 +
Arctan
1
x −
π
2
x
= lim
t→
π
2
−
t −
π
2
1
tan t
= lim
t→
π
2
−
t −
π
2
tan t = −1
et
f
− (0) = lim
x→0 −
Arctan
−
1
x
−
π
2
x
= lim
t→
π
2
−
t −
π
2
−
1
tan t
= − lim
t→
π
2
−
t −
π
2
tan t = 1.
La fonction est donc dérivable partout sauf en 0.
II.1.4. On note d’abord que
f
(0) = lim
x→0
x 2
cos
π
x
x
= 0.
Clairement, f (x) existe pour x =
2
2n+1 (n ∈ Z). Pour x n =
2
2n+1 ,
n = 0, 2, 4, . . ., on a
f
+ (x n ) = lim
x→x
+
n
x 2 cos
π
x
x − x n
=
x
2 cos
π
x
|x=xn
= π,
f
− (x n ) = lim
x→x
−
n
−x 2 cos
π
x
x − x n
=
−x
2 cos
π
x
|x=xn
= −π.
De même, si x n =
2
2n+1 , n = 1, 3, 5, . . ., alors f
+ (x n ) = π et f
− (x n ) = −π.
Puisque f est paire, f n’est pas dérivable en x n , n ∈ Z.
172