Solutions
(e) f (x) =
1
x pour x = 0.
(f) f (x) =
1
x
√
x 2 −1
si |x| > 1.
II.1.2.
(a) Puisque log x 2 =
ln 2
ln x , on obtient
f
(x) = −
ln 2
x ln
2 x
= −
log x 2 · log x e
x
.
(b) Comme en (a), on prouve que
f
(x) =
− tan x ln x −
1
x ln cos x
ln
2 x
= − tan x log x e −
1
x
log x cos x · log x e.
II.1.3.
(a) Clairement,
f
(x) =
1
1+x 2
si |x| < 1,
1
2
si |x| > 1.
On vérifie maintenant si une dérivée existe en 1 et en −1. On a
f
+ (1) = lim
x→1 +
π
4 +
x−1
2 −
π
4
x − 1
=
1
2
,
f
− (1) = lim
x→1 −
Arctan x −
π
4
x − 1
= Arctan
(1) =
1
2
.
Donc, f (1) =
1
2 . On a aussi
f
+ (−1) = lim
x→−1 +
Arctan x +
π
4
x + 1
= Arctan
(−1) =
1
2
,
f
− (−1) = lim
x→−1 −
−
π
4 +
x−1
2 +
π
4
x + 1
= +∞
et f (−1) n’existe pas.
(b) On a
f
(x) =
2xe −x 2
1 − x 2
si |x| < 1,
0
si |x| > 1.
171