Énoncés
II.6.12. Soit f une fonction continue et Schwarz-dérivable sur un intervalle I.
Prouver que si f s (x) 0 pour x ∈ I, f est alors croissante sur I.
II.6.13. Soit f une fonction continue et Schwarz-dérivable sur un intervalle I.
Prouver que si f s (x) = 0 pour tout x ∈ I, f est alors constante sur I.
II.6.14. Soit f une fonction Schwarz-dérivable sur ]a , b[ et x 0 ∈ ]a , b[ un extremum local de f . La dérivée de Schwarz doit-elle s’annuler en x 0 ?
II.6.15. Une fonction f : R −→ R vérifie la propriété de Baire s’il existe un
ensemble résiduel S ⊂ R sur lequel f est continue. Prouver que si f vérifie la
propriété de Baire, il existe alors un ensemble résiduel B tel que, pour tout x ∈ B,
D s f (x) = D ∗ f (x) et D
s f (x) = D
∗ f (x).
II.6.16. Prouver que si f vérifie la propriété de Baire et est Schwarz-dérivable
sur R, f est alors fortement dérivable sur un ensemble résiduel.
II.6.17. Soit f une fonction Schwarz-dérivable sur un intervalle ouvert I et soit
[a , b] ⊂ I. La fonction f est uniformément Schwarz-dérivable sur [a , b] si, pour
tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si |h| < δ, alors
f (x + h) − f (x − h)
2h
− f
s (x)
< ε
dès que x ∈ [a , b] et x + h, x − h ∈ I.
Soit f une fonction Schwarz-dérivable sur un intervalle ouvert I et [a , b] ⊂ I.
Prouver que s’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que lim
h→0
|f (x 0 + h)| = +∞ et s’il existe
x 1 tel que f soit localement bornée sur [x 1 , x 0 [, alors f n’est pas uniformément
Schwarz-dérivable sur [a , b].
II.6.18. Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I contenant [a , b].
Démontrer que f est uniformément Schwarz-dérivable sur [a , b] si et seulement si
f s est continue sur [a , b].
II.6.19. Montrer sur un exemple que l’hypothèse de continuité de f est essentielle dans le problème précédent.
II.6.20. Prouver qu’une fonction localement bornée sur un intervalle ouvert I
est uniformément Schwarz-dérivable sur tout [a , b] ⊂ I si et seulement si f est
continue sur I.
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II.6.12. Soit f une fonction continue et Schwarz-dérivable sur un intervalle I.
Prouver que si f s (x) 0 pour x ∈ I, f est alors croissante sur I.
II.6.13. Soit f une fonction continue et Schwarz-dérivable sur un intervalle I.
Prouver que si f s (x) = 0 pour tout x ∈ I, f est alors constante sur I.
II.6.14. Soit f une fonction Schwarz-dérivable sur ]a , b[ et x 0 ∈ ]a , b[ un extremum local de f . La dérivée de Schwarz doit-elle s’annuler en x 0 ?
II.6.15. Une fonction f : R −→ R vérifie la propriété de Baire s’il existe un
ensemble résiduel S ⊂ R sur lequel f est continue. Prouver que si f vérifie la
propriété de Baire, il existe alors un ensemble résiduel B tel que, pour tout x ∈ B,
D s f (x) = D ∗ f (x) et D
s f (x) = D
∗ f (x).
II.6.16. Prouver que si f vérifie la propriété de Baire et est Schwarz-dérivable
sur R, f est alors fortement dérivable sur un ensemble résiduel.
II.6.17. Soit f une fonction Schwarz-dérivable sur un intervalle ouvert I et soit
[a , b] ⊂ I. La fonction f est uniformément Schwarz-dérivable sur [a , b] si, pour
tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si |h| < δ, alors
f (x + h) − f (x − h)
2h
− f
s (x)
< ε
dès que x ∈ [a , b] et x + h, x − h ∈ I.
Soit f une fonction Schwarz-dérivable sur un intervalle ouvert I et [a , b] ⊂ I.
Prouver que s’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que lim
h→0
|f (x 0 + h)| = +∞ et s’il existe
x 1 tel que f soit localement bornée sur [x 1 , x 0 [, alors f n’est pas uniformément
Schwarz-dérivable sur [a , b].
II.6.18. Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I contenant [a , b].
Démontrer que f est uniformément Schwarz-dérivable sur [a , b] si et seulement si
f s est continue sur [a , b].
II.6.19. Montrer sur un exemple que l’hypothèse de continuité de f est essentielle dans le problème précédent.
II.6.20. Prouver qu’une fonction localement bornée sur un intervalle ouvert I
est uniformément Schwarz-dérivable sur tout [a , b] ⊂ I si et seulement si f est
continue sur I.
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