Chapitre II. Dérivation
point d’accumulation de A ∗ , alors
lim
x→a
x∈A ∗
f
∗ (x) = lim
x→a
x∈A 1
f
(x) = f
∗ (a) = f
(a).
II.6.3. Prouver que toute fonction continûment dérivable en a est fortement
dérivable en a.
II.6.4. La dérivabilité forte de f en a implique-t-elle la continuité de f en ce
point ?
II.6.5. Soit G un sous-ensemble ouvert de A. Prouver que f est fortement
dérivable sur G si et seulement si la dérivée f est continue sur G.
II.6.6. Prouver que si f est dérivable sur R, elle est alors fortement dérivable
sur un ensemble résiduel , c’est-à-dire sur un ensemble R \ B où B est un ensemble
de première catégorie dans R.
II.6.7. Soit f une fonction continue sur [a , b] telle que la dérivée de Schwarz
f s existe sur l’intervalle ouvert ]a , b[. Prouver que si f (b) > f(a), il existe alors
c ∈ ]a , b[ tel que f s (c) 0.
II.6.8. Soit f une fonction continue sur [a , b] telle que f (a) = f (b) = 0. Démontrer que si f est Schwarz-dérivable sur l’intervalle ouvert ]a , b[, il existe alors
x 1 , x 2 ∈ ]a , b[ tels que f s (x 1 ) 0 et f s (x 2 ) 0.
II.6.9. Soit f une fonction continue sur [a , b] et Schwarz-dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a , b[. Prouver qu’il existe x 1 , x 2 ∈ ]a , b[ tels que
f
s (x 2 )
f (b) − f (a)
b − a
f
s (x 1 ).
II.6.10. Soit f une fonction continue et Schwarz-dérivable sur ]a , b[. Prouver
que si la dérivée de Schwarz f s est bornée sur ]a , b[, alors f est lipschitzienne sur
cet intervalle.
II.6.11. Soit f une fonction continue et Schwarz-dérivable sur ]a , b[ tel que f s
soit continue sur cet intervalle. Prouver que f est dérivable et f (x) = f s (x) pour
tout x ∈ ]a , b[.
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