Énoncés
II.5.57. Montrer sur un exemple que l’hypothèse dans le problème précédent que
f est infiniment dérivable sur [0 , 1] est essentielle. Montrer aussi que la conclusion
de II.5.56 est fausse si on remplace l’existence de n(x) par lim
n→+∞
f (n) (x) = 0 pour
tout x ∈ [0 , 1].
II.6. Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz
Définition 5. Une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble ouvert
A ⊂ R est fortement dérivable en a ∈ A si
lim
(x 1 ,x 2 )→(a,a)
x 1 =x 2
f (x 1 ) − f (x 2 )
x 1 − x 2
= f
∗ (a)
existe et est finie. Le nombre f ∗ (a) est appelé la dérivée forte de f en a.
Définition 6. Une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble ouvert
A ⊂ R est dérivable au sens de Schwarz (ou Schwarz-dérivable) en a ∈ A
si
lim
h→0
f (a + h) − f (a − h)
2h
= f
s (a)
existe et est finie. Le nombre f s (a) est appelé la dérivée de Schwarz ou dérivée
symétrique de f en a.
La dérivée forte supérieure (resp. inférieure) de f en a est définie en remplaçant la limite par une limite supérieure lim (resp. limite inférieure lim) dans la
définition 5 et elle est notée D ∗ f (a) (resp. D ∗ f (a)). Les dérivées de Schwarz supérieures et inférieures sont définies de façon analogue et sont notées respectivement
D s f (a) et D s f (a).
II.6.1. Démontrer que si f est fortement dérivable en a, elle est alors dérivable
en a et f ∗ (a) = f (a). Montrer sur un exemple que la réciproque est fausse.
II.6.2. Soit f : A −→ R. On note A 1 et A ∗ l’ensemble des points où f est
respectivement dérivable et fortement dérivable. Prouver que si a ∈ A ∗ est un
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