Chapitre II. Dérivation
II.5.50. Pour tout entier n 2, prouver que si 0 < x <
n
n+1 , alors
1 − 2x
n + x
n+1
n < (1 − x
n )
n+1 .
II.5.51. Soit f la fonction définie par
f (x) = x −
x 3
6
+
x 4
24
sin
1
x
pour x > 0.
Prouver que si y et z sont des réels strictement positifs tels que y + z < 1, alors
f (y + z) < f(y) + f (z).
II.5.52. Prouver l’inégalité
n
k=0
(k − nx)
2
n
k
x
k (1 − x)
n−k
n
4
.
II.5.53. Soit f ∈ C 2
[a,b] une fonction telle que f (a)f (b) < 0 et f et f ne
changent pas de signe sur [a , b]. Prouver que la suite récurrente définie par
x n+1 = x n −
f (x n )
f (x n )
, n ∈ N
et x 0 = b si f et f ont le même signe et x 0 = a, dans le cas contraire, converge
vers l’unique racine de l’équation f (x) = 0 dans ]a , b[. (Il s’agit de la méthode
d’approximation dite de Newton d’une racine de l’équation f (x) = 0.)
II.5.54. Sous les hypothèses du problème précédent, prouver que
|x n+1 − ξ|
M
2m
(x n − ξ)
2 , n ∈ N,
si M = max {|f (x)| : x ∈ [a , b]}, m = min {|f (x)| : x ∈ [a , b]} et ξ est l’unique
racine de l’équation f (x) = 0.
II.5.55. Trouver sup
2 −x + 2
−
1
x : x > 0
.
II.5.56. Soit f une fonction infiniment dérivable sur [0 , 1] telle que, pour tout
x ∈ [0 , 1], il existe un entier n(x) vérifiant f (n(x)) (x) = 0. Prouver que f coïncide
avec un polynôme sur [0 , 1].
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II.5.50. Pour tout entier n 2, prouver que si 0 < x <
n
n+1 , alors
1 − 2x
n + x
n+1
n < (1 − x
n )
n+1 .
II.5.51. Soit f la fonction définie par
f (x) = x −
x 3
6
+
x 4
24
sin
1
x
pour x > 0.
Prouver que si y et z sont des réels strictement positifs tels que y + z < 1, alors
f (y + z) < f(y) + f (z).
II.5.52. Prouver l’inégalité
n
k=0
(k − nx)
2
n
k
x
k (1 − x)
n−k
n
4
.
II.5.53. Soit f ∈ C 2
[a,b] une fonction telle que f (a)f (b) < 0 et f et f ne
changent pas de signe sur [a , b]. Prouver que la suite récurrente définie par
x n+1 = x n −
f (x n )
f (x n )
, n ∈ N
et x 0 = b si f et f ont le même signe et x 0 = a, dans le cas contraire, converge
vers l’unique racine de l’équation f (x) = 0 dans ]a , b[. (Il s’agit de la méthode
d’approximation dite de Newton d’une racine de l’équation f (x) = 0.)
II.5.54. Sous les hypothèses du problème précédent, prouver que
|x n+1 − ξ|
M
2m
(x n − ξ)
2 , n ∈ N,
si M = max {|f (x)| : x ∈ [a , b]}, m = min {|f (x)| : x ∈ [a , b]} et ξ est l’unique
racine de l’équation f (x) = 0.
II.5.55. Trouver sup
2 −x + 2
−
1
x : x > 0
.
II.5.56. Soit f une fonction infiniment dérivable sur [0 , 1] telle que, pour tout
x ∈ [0 , 1], il existe un entier n(x) vérifiant f (n(x)) (x) = 0. Prouver que f coïncide
avec un polynôme sur [0 , 1].
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