Énoncés
II.5.43. Pour λ 1, x, y strictement positifs et tout entier n 2, montrer que
√
xy
n
x n + y n + λ ((x + y)
n
− x n − y n )
2 + λ (2 n − 2)
x + y
2
.
II.5.44. Prouver que
(a)
sin(tan x) x pour x ∈
0 ,
π
4
,
(b)
tan(sin x) x pour x ∈
0 ,
π
3
.
II.5.45. Montrer que
1
sin
2 x
1
x 2 + 1 −
4
π 2
si x ∈
0 ,
π
2
.
II.5.46. Montrer que
Arctan x >
3x
1 + 2
√
1 + x 2
pour x > 0.
II.5.47. Soit a k , b k , k = 1, 2, . . . , n des réels strictement positifs. Démontrer que
l’inégalité
n
k=1
(xa k + (1 − x)b k ) max
n
k=1
a k ,
n
k=1
b k
est vérifiée pour tout x ∈ [0 , 1] si et seulement si
n
k=1
a k − b k
a k
n
k=1
a k − b k
b k
0.
II.5.48. En utilisant les résultats de II.5.1, prouver que
cos x + cos y 1 + cos(xy) pour x
2 + y
2
π.
II.5.49. Établir, pour x et y strictement positifs, l’inégalité
x
y + y
x > 1.
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