Chapitre II. Dérivation
II.5.38. Déterminer tous les points où la fonction
f (x) =
e
−
1
|x|
√
2 + sin
1
x
si x = 0,
0
si x = 0
atteint ses extrema locaux.
II.5.39. On pose
f (x) =
x 4
2 + sin
1
x
si x = 0,
0
si x = 0.
Prouver que f est dérivable sur R et que f atteint son minimum absolu en 0 alors
qu’elle n’est monotone sur aucun intervalle de la forme ]−ε , 0[ ou ]0 , ε[ (ε > 0).
II.5.40. Établir les inégalités suivantes pour x > 0 :
sh x
√
sh x 2 + ch x 2
< th x < x < sh x <
1
2
sh 2x.
II.5.41. En utilisant le résultat du problème précédent, prouver que si a et b
sont deux réels distincts et strictement positifs, alors
2
1
a +
1
b
<
√
ab <
b − a
ln b − ln a
<
a + b
2
<
a 2 + b 2
2
.
Le réel L(a, b) =
b−a
ln b−ln a est appelé la moyenne logarithmique des réels strictement
positifs a et b, a = b (on pose généralement L(a, a) = a) (7) .
II.5.42. La moyenne des puissances des réels strictement positifs x et y est
définie par
M p (x, y) =
x p + y p
2
1
p
si p = 0.
(a) Montrer que
lim
p→0
M p (x, y) =
√ xy.
(Il est donc naturel d’adopter la convention M 0 (x, y) =
√ xy.)
(b) Montrer que M p (x, y) < M q (x, y) si x = y et p < q.
(7) H(a, b) =
2
1
a
+ 1
b
est appelé la moyenne harmonique des réels strictement positifs a et b,
M2(a, b) =
a 2 +b 2
2
est appelé la moyenne quadratique des réels positifs a et b. (N.d.T.)
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II.5.38. Déterminer tous les points où la fonction
f (x) =
e
−
1
|x|
√
2 + sin
1
x
si x = 0,
0
si x = 0
atteint ses extrema locaux.
II.5.39. On pose
f (x) =
x 4
2 + sin
1
x
si x = 0,
0
si x = 0.
Prouver que f est dérivable sur R et que f atteint son minimum absolu en 0 alors
qu’elle n’est monotone sur aucun intervalle de la forme ]−ε , 0[ ou ]0 , ε[ (ε > 0).
II.5.40. Établir les inégalités suivantes pour x > 0 :
sh x
√
sh x 2 + ch x 2
< th x < x < sh x <
1
2
sh 2x.
II.5.41. En utilisant le résultat du problème précédent, prouver que si a et b
sont deux réels distincts et strictement positifs, alors
2
1
a +
1
b
<
√
ab <
b − a
ln b − ln a
<
a + b
2
<
a 2 + b 2
2
.
Le réel L(a, b) =
b−a
ln b−ln a est appelé la moyenne logarithmique des réels strictement
positifs a et b, a = b (on pose généralement L(a, a) = a) (7) .
II.5.42. La moyenne des puissances des réels strictement positifs x et y est
définie par
M p (x, y) =
x p + y p
2
1
p
si p = 0.
(a) Montrer que
lim
p→0
M p (x, y) =
√ xy.
(Il est donc naturel d’adopter la convention M 0 (x, y) =
√ xy.)
(b) Montrer que M p (x, y) < M q (x, y) si x = y et p < q.
(7) H(a, b) =
2
1
a
+ 1
b
est appelé la moyenne harmonique des réels strictement positifs a et b,
M2(a, b) =
a 2 +b 2
2
est appelé la moyenne quadratique des réels positifs a et b. (N.d.T.)
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