Énoncés
II.5.30. Prouver que
e
x
−
n
k=0
x k
k!
<
x
n
(e
x
− 1) pour x ∈ R
∗
+ et n ∈ N
∗ .
II.5.31. Soit n ∈ N ∗ . Trouver les extrema locaux de la fonction
f (x) =
1 + x +
x 2
2!
+ . . . +
x n
n!
e
−x .
II.5.32. Soit m, n ∈ N ∗ . Trouver les extrema locaux de la fonction
f (x) = x
m (1 − x)
n .
II.5.33. Soit m, n ∈ N ∗ . Trouver le maximum de la fonction
f (x) = sin
2m x × cos
2n x.
II.5.34. Déterminer tous les points où la fonction f (x) = x
1
3 (1 − x)
2
3 atteint
ses extrema locaux.
II.5.35. Déterminer le maximum et le minimum sur [−1 , 1] de la fonction
f (x) = x Arcsin x +
√
1 − x 2 .
II.5.36. Déterminer le maximum de la fonction f définie sur R par
f (x) =
1
1 + |x|
+
1
1 + |x − 1|
.
II.5.37. Prouver les inégalités suivantes pour a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R + :
(a)
1
n
n
k=1
a k e
−a k
1
e
,
(b)
1
n
n
k=1
a
2
k e
−a k
4
e 2 ,
(c)
n
k=1
a k
3
e
n
exp
1
3
n
k=1
a k
.
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