Chapitre II. Dérivation
II.5.23. Établir les inégalités suivantes :
(a)
1
3
tan x +
2
3
sin x > x pour 0 < x <
π
2
,
(b)
x(2 + cos x) > 3 sin x pour x > 0,
(c)
cos x <
sin
2 x
x 2
pour 0 < x <
π
2
.
II.5.24. Montrer que si α > 1, on a alors
1
2 α−1 x
α + (1 − x)
α
1
pour 0 x 1.
II.5.25. Montrer que si α ∈ ]0 , 1[, alors
(x + y)
α < x
α + y
α
pour x, y > 0.
II.5.26. Pour α ∈ ]0 , 1[ et x ∈ [−1 , 1], montrer que
(1 + x)
α
1 + αx −
α(1 − α)
8
x
2 .
II.5.27. Prouver la généralisation suivante du résultat du problème précédent.
Pour B 0 et x ∈ [−1 , B], on a
(a)
(1 + x)
α
1 + αx −
α(1 − α)
2 (1 + B)
2 x
2 si 0 < α < 1,
(b)
(1 + x)
α
1 + αx −
α(1 − α)
2 (1 + B)
2 x
2 si 1 < α < 2.
II.5.28. Prouver que
(a)
sin x
2
π
x pour x ∈
0 ,
π
2
,
(b)
sin x
2
π
x +
x
π 3
π
2
− 4x
2
pour x ∈
0 ,
π
2
.
II.5.29. Prouver que
πx(1 − x) < sin πx 4x(1 − x) pour x ∈ ]0 , 1[.
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