Énoncés
II.5.16. Déterminer lequel des deux nombres est le plus grand :
(a) e π et π e ,
(b) 2
√
2 et e,
(c) ln 8 et 2.
II.5.17. Vérifier les propositions suivantes :
(a)
ln
1 +
x
a
ln
1 +
b
x
<
b
a
, a, b, x > 0,
(b)
1 +
x
m
m
1 −
x
n
n
< 1, x ∈ R
∗ , m, n ∈ N
∗ , m, n |x| ,
(c)
ln
1 +
1 + x 2
<
1
x
+ ln x, x > 0.
II.5.18. Pour x > 0, établir les inégalités suivantes :
(a)
ln(1 + x) <
x
√
1 + x
,
(b)
(x − 1)
2
x ln
2 x.
II.5.19. Montrer que
(a)
x +
x 2
2
−
x 3
6
< (1 + x) ln(1 + x) < x +
x 2
2
pour x > 0,
(b)
ln(1 + cos x) < ln 2 −
x 2
4
pour x ∈ ]0 , π[.
II.5.20. Pour x > 0, vérifier les propositions suivantes :
(a)
e
x < 1 + xe
x ,
(b)
e
x
− 1 − x < x
2 e
x ,
(c)
xe
x
2 < e
x
− 1,
(d)
e
x < (1 + x)
1+x ,
(e)
x + 1
2
x+1
x
x .
II.5.21. Montrer que (e + x)
e−x > (e − x)
e+x pour x ∈ ]0 , e[.
II.5.22. Montrer que e x−1 + ln x − 2x + 1 > 0 si x > 1.
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