Chapitre II. Dérivation
II.5.8. Soit f et g deux fonctions dérivables sur [0 , a] telles que f (0) = g(0) = 0
et g(x) > 0, g (x) > 0 pour x ∈ ]0 , a]. Prouver que si
f
g est croissante sur ]0 , a],
alors
f
g est aussi croissante sur cet intervalle.
II.5.9. Montrer que chacune des équations
sin(cos x) = x et cos(sin x) = x
admet une unique racine dans
0 ,
π
2
. Montrer de plus que si x 1 et x 2 sont respectivement les racines de la première et de la seconde équation, alors x 1 < x 2 .
II.5.10. Prouver que si f est dérivable sur [a , b], f (a) = 0 et s’il existe C 0
tel que |f (x)| C |f (x)| pour tout x ∈ [a , b], alors f (x) ≡ 0.
II.5.11. En utilisant le théorème des accroissements finis, prouver que
1 +
x
p
p
<
1 +
x
q
q
pour x > 0 si 0 < p < q.
II.5.12. Montrer d’abord que e x 1 + x pour x ∈ R, puis, en utilisant ce
résultat, prouver l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique.
II.5.13. Montrer que
xy e
x + y(ln y − 1)
pour x ∈ R et y ∈ R ∗
+ . Montrer aussi qu’il y a égalité si et seulement si y = e x .
II.5.14. Soit f : R −→ [−1 , 1] une fonction de classe C 2 sur R telle que
(f (0))
2 +
f
(0)
2 = 4.
Prouver qu’il existe x 0 ∈ R tel que f (x 0 ) + f (x 0 ) = 0.
II.5.15. Établir les inégalités suivantes :
(a)
x +
1
x
Arctan x > 1 pour x > 0,
(b)
2 tan x − sh x > 0 pour 0 < x <
π
2
,
(c)
ln x <
x
e
pour x > 0, x = e,
(d)
x ln x
x 2 − 1
<
1
2
pour x > 0, x = 1.
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II.5.8. Soit f et g deux fonctions dérivables sur [0 , a] telles que f (0) = g(0) = 0
et g(x) > 0, g (x) > 0 pour x ∈ ]0 , a]. Prouver que si
f
g est croissante sur ]0 , a],
alors
f
g est aussi croissante sur cet intervalle.
II.5.9. Montrer que chacune des équations
sin(cos x) = x et cos(sin x) = x
admet une unique racine dans
0 ,
π
2
. Montrer de plus que si x 1 et x 2 sont respectivement les racines de la première et de la seconde équation, alors x 1 < x 2 .
II.5.10. Prouver que si f est dérivable sur [a , b], f (a) = 0 et s’il existe C 0
tel que |f (x)| C |f (x)| pour tout x ∈ [a , b], alors f (x) ≡ 0.
II.5.11. En utilisant le théorème des accroissements finis, prouver que
1 +
x
p
p
<
1 +
x
q
q
pour x > 0 si 0 < p < q.
II.5.12. Montrer d’abord que e x 1 + x pour x ∈ R, puis, en utilisant ce
résultat, prouver l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique.
II.5.13. Montrer que
xy e
x + y(ln y − 1)
pour x ∈ R et y ∈ R ∗
+ . Montrer aussi qu’il y a égalité si et seulement si y = e x .
II.5.14. Soit f : R −→ [−1 , 1] une fonction de classe C 2 sur R telle que
(f (0))
2 +
f
(0)
2 = 4.
Prouver qu’il existe x 0 ∈ R tel que f (x 0 ) + f (x 0 ) = 0.
II.5.15. Établir les inégalités suivantes :
(a)
x +
1
x
Arctan x > 1 pour x > 0,
(b)
2 tan x − sh x > 0 pour 0 < x <
π
2
,
(c)
ln x <
x
e
pour x > 0, x = e,
(d)
x ln x
x 2 − 1
<
1
2
pour x > 0, x = 1.
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