Énoncés
II.5.2. Pour n ∈ N ∗ et x > 0, vérifier les propositions suivantes :
(a) x −
x 3
3!
+
x 5
5!
− . . . +
x 4n−3
(4n − 3)!
−
x 4n−1
(4n − 1)!
< sin x < x −
x 3
3!
+ . . . +
x 4n−3
(4n − 3)!
−
x 4n−1
(4n − 1)!
+
x 4n+1
(4n + 1)!
,
(b) 1 −
x 2
2!
+
x 4
4!
− . . . +
x 4n−4
(4n − 4)!
−
x 4n−2
(4n − 2)!
< cos x < 1 −
x 2
2!
+ . . . +
x 4n−4
(4n − 4)!
−
x 4n−2
(4n − 2)!
+
x 4n
(4n)!
.
II.5.3. Soit f une fonction continue sur [a , b] et dérivable sur l’intervalle ouvert
]a , b[. Prouver que si a 0, il existe alors x 1 , x 2 , x 3 ∈ ]a , b[ tels que
f
(x 1 ) = (b + a)
f (x 2 )
2x 2
=
b
2 + ba + b
2
f (x 3 )
3x 2
3
.
II.5.4. Démontrer la généralisation suivante du résultat donné en II.2.32. Soit
f une fonction à valeurs complexes définie sur R ∗
+ et α un nombre complexe à
partie réelle strictement positive. Prouver que lim
x→+∞
f (x) = 0 si f est dérivable
et si lim
x→+∞
(αf (x) + f (x)) = 0.
II.5.5. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R ∗
+ . Prouver que si
lim
x→+∞
(f (x) + f (x) + f (x)) = L, alors lim
x→+∞
f (x) = L.
II.5.6. Soit f une fonction trois fois dérivable sur R ∗
+ . L’existence de la limite
lim
x→+∞
(f (x) + f
(x) + f
(x) + f
(x))
implique-t-elle celle de lim
x→+∞
f (x) ?
II.5.7.
(a) Soit f une fonction continûment dérivable sur R ∗
+ telle que f (0) = 1. Prouver
que si |f (x)| e −x pour x 0, il existe alors x 0 > 0 tel que f (x 0 ) = −e −x 0 .
(b) Soit f une fonction continûment dérivable sur ]1 , +∞[ telle que f (1) = 1.
Démontrer que si |f (x)|
1
x pour x 1, il existe alors x 0 > 0 vérifiant
f (x 0 ) = −
1
x 2
0
.
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