Chapitre II. Dérivation
II.4.32. Soit f une fonction dérivable sur ]a , b[ telle que, pour x, y ∈ ]a , b[
(x = y), il existe un unique ζ vérifiant
f (y) − f (x)
y − x
= f
(ζ).
Prouver que f est strictement convexe ou strictement concave sur ]a , b[.
II.4.33. Soit f : R −→ R une fonction continue telle que pour tout d ∈ R, la
fonction g d (x) = f (x + d) − f (x) soit C ∞ sur R. Prouver que f est C ∞ sur R.
II.4.34. Soit a n . . . a 2 a 1 des réels et f une fonction convexe sur l’intervalle [a n , a 1 ]. Prouver que
n
k=1
f (a k+1 )a k
n
k=1
f (a k )a k+1
en posant a n+1 = a 1 .
II.4.35. Soit f une fonction concave et strictement croissante sur l’intervalle
]a , b[ (les cas a = −∞ et b = +∞ sont possibles). Prouver que si a < f(x) < x
pour tout x ∈ ]a , b[ et
lim
x→a +
f
+ (x) = 1,
alors
lim
n→+∞
f n+1 (x) − f n (x)
f n+1 (y) − f n (y)
= 1
pour tout x, y ∈ ]a , b[, f n représentant la n-ième itérée de f (voir I.1.40).
II.5. Applications des dérivées
II.5.1. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis généralisé, que
(a)
1 −
x 2
2!
< cos x pour x = 0,
(b)
x −
x 3
3!
< sin x pour x > 0,
(c)
cos x < 1 −
x 2
2!
+
x 4
4!
pour x = 0,
(d)
sin x < x −
x 3
3!
+
x 5
5!
pour x > 0.
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