Énoncés
II.4.25. Prouver l’inégalité de Minkowski généralisée : pour x i,j 0 (i =
1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m) et p > 1, on a
⎛
⎝
n
i=1
⎛
⎝
m
j=1
x i,j
⎞
⎠
p ⎞
⎠
1
p
m
j=1
n
i=1
x
p
i,j
1
p
.
II.4.26. Une fonction f définie sur un intervalle I est mid-convexe sur cet intervalle si
f
x + y
2
f (x) + f (y)
2
pour tout x, y ∈ I. Prouver que si f est continue et mid-convexe sur I, elle est
convexe sur I.
II.4.27. Prouver que l’hypothèse de continuité ne peut pas être omise
en II.4.26.
II.4.28. Soit f une fonction continue sur I telle que
f
x + y
2
<
f (x) + f (y)
2
pour tout x, y ∈ I, x = y. Prouver que f est strictement convexe sur I.
II.4.29. Soit f une fonction convexe sur un intervalle ouvert I. Prouver que f
est localement lipschitzienne sur I.
II.4.30. Soit f : R ∗
+ −→ R une fonction convexe telle que
lim
x→0 +
f (x) = 0.
Prouver que la fonction x →
f (x)
x est croissante sur R ∗
+ .
II.4.31. La fonction f est dite sous-additive sur R ∗
+ si on a
f (x 1 + x 2 ) f (x 1 ) + f (x 2 )
pour tout x 1 , x 2 ∈ R ∗
+ . Prouver que
(a) si x →
f (x)
x est décroissante sur R ∗
+ , alors f est sous-additive,
(b) si f est convexe et sous-additive sur R ∗
+ , alors x →
f (x)
x est une fonction
décroissante sur cet intervalle.
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