Chapitre II. Dérivation
II.4.18. Soit f : ]a , b[ −→ R une fonction convexe et bornée sur ]a , b[ (les cas
a = −∞ et b = +∞ sont possibles). Prouver que f est uniformément continue
sur ]a , b[ (comparer avec II.4.14).
II.4.19. Soit f : ]a , b[ −→ R une fonction convexe sur ]a , b[ (les cas a = −∞ et
b = +∞ sont possibles). Prouver que f admet des dérivées à gauche et à droite
sur ]a , b[ et qu’elles sont monotones. Prouver de plus que les dérivées à gauche et
à droite sont égales, excepté sur un ensemble dénombrable.
II.4.20. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que f , f et f soient
strictement croissantes sur R. On se donne a, b ∈ R, a b. Soit x → ξ(x), x > 0,
la fonction définie par le théorème des accroissements finis :
f (b + x) − f (a − x)
b − a + 2x
= f
(ξ).
Prouver que la fonction ξ est croissante sur R ∗
+ .
II.4.21. En utilisant le résultat de II.4.4, prouver l’inégalité de Hölder : si
p, q > 1 et
1
p +
1
q = 1, alors
n
i=1
|x i y i |
n
i=1
|x i |
p
1
p
n
i=1
|y i |
q
1
q
.
II.4.22. En utilisant l’inégalité de Hölder, prouver l’inégalité de Minkowski : si
p 1, alors
n
i=1
|x i + y i |
p
1
p
n
i=1
|x i |
p
1
p
+
n
i=1
|y i |
p
1
p
.
II.4.23. Prouver que si la série
+∞
n=1
a 4
n converge, alors la série
+∞
n=1
an
n
4
5
converge
aussi.
II.4.24. Pour x i , y i 0 (i = 1, 2, . . . , n) et p > 1, prouver l’inégalité
((x 1 + . . . + x n )
p + (y 1 + . . . + y n )
p )
1
p (x
p
1 + y
p
1 )
1
p + . . . + (x
p
n + y
p
n )
1
p .
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II.4.18. Soit f : ]a , b[ −→ R une fonction convexe et bornée sur ]a , b[ (les cas
a = −∞ et b = +∞ sont possibles). Prouver que f est uniformément continue
sur ]a , b[ (comparer avec II.4.14).
II.4.19. Soit f : ]a , b[ −→ R une fonction convexe sur ]a , b[ (les cas a = −∞ et
b = +∞ sont possibles). Prouver que f admet des dérivées à gauche et à droite
sur ]a , b[ et qu’elles sont monotones. Prouver de plus que les dérivées à gauche et
à droite sont égales, excepté sur un ensemble dénombrable.
II.4.20. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que f , f et f soient
strictement croissantes sur R. On se donne a, b ∈ R, a b. Soit x → ξ(x), x > 0,
la fonction définie par le théorème des accroissements finis :
f (b + x) − f (a − x)
b − a + 2x
= f
(ξ).
Prouver que la fonction ξ est croissante sur R ∗
+ .
II.4.21. En utilisant le résultat de II.4.4, prouver l’inégalité de Hölder : si
p, q > 1 et
1
p +
1
q = 1, alors
n
i=1
|x i y i |
n
i=1
|x i |
p
1
p
n
i=1
|y i |
q
1
q
.
II.4.22. En utilisant l’inégalité de Hölder, prouver l’inégalité de Minkowski : si
p 1, alors
n
i=1
|x i + y i |
p
1
p
n
i=1
|x i |
p
1
p
+
n
i=1
|y i |
p
1
p
.
II.4.23. Prouver que si la série
+∞
n=1
a 4
n converge, alors la série
+∞
n=1
an
n
4
5
converge
aussi.
II.4.24. Pour x i , y i 0 (i = 1, 2, . . . , n) et p > 1, prouver l’inégalité
((x 1 + . . . + x n )
p + (y 1 + . . . + y n )
p )
1
p (x
p
1 + y
p
1 )
1
p + . . . + (x
p
n + y
p
n )
1
p .
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