Énoncés
II.4.13. Établir les inégalités suivantes :
(a) pour x 1 , . . . , x n > 0,
n 2
x 1 + . . . + x n
1
x 1
+ . . . +
1
x n
,
(b) pour x k , α k > 0 (k = 1, 2, . . . , n) tels que
n
k=1
α k = 1,
1
α 1
x 1
+ . . . +
αn
xn
x
α 1
1 · · · x
αn
n α 1 x 1 + . . . + α n x n ,
(c) pour x k , y k 0 et α k > 0 (k = 1, 2, . . . , n) tels que
n
k=1
α k = 1,
x
α 1
1 · · · x
αn
n + y
α 1
1 · · · y
αn
n (x 1 + y 1 )
α 1 · · · (x n + y n )
αn ,
(d) pour x i,j 0 et α i > 0 (i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m) tels que
n
i=1
α i = 1,
m
j=1
n
i=1
x
α i
i,j
n
i=1
⎛
⎝
m
j=1
x i,j
⎞
⎠
α i
.
II.4.14. Prouver que si f : R −→ R est convexe et majorée, elle est alors
constante sur R.
II.4.15. Une fonction convexe et bornée sur ]a , +∞[ ou sur ]−∞ , a[ doit-elle
être constante ?
II.4.16. Soit f : ]a , b[ −→ R une fonction convexe sur ]a , b[ (les cas a = −∞ et
b = +∞ sont possibles). Prouver que soit f est monotone sur ]a , b[, soit il existe
c ∈ ]a , b[ tel que
f (c) = min {f (x) : x ∈ ]a , b[}
et f est décroissante sur ]a , c] et croissante sur [c , b[.
II.4.17. Soit f : ]a , b[ −→ R une fonction convexe sur ]a , b[ (les cas a = −∞ et
b = +∞ sont possibles). Prouver que les limites (finies ou infinies)
lim
x→a +
f (x) et
lim
x→b −
f (x)
existent.
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