Chapitre II. Dérivation
II.4.7. Pour x et y strictement positifs, établir l’inégalité
x ln x + y ln y (x + y) ln
x + y
2
.
II.4.8. Pour α > 1 et x 1 , . . . , x n strictement positifs, prouver que
1
n
n
k=1
x k
α
1
n
n
k=1
x
α
k .
II.4.9. Soit x 1 , . . . , x n ∈ ]0 , 1[ et p 1 , . . . , p n ∈ ]0 , 1] tels que
n
k=1
p k = 1. Prouver
que
(a)
1 +
n
k=1
p k x k
−1
n
k=1
1 + x k
x k
p k
,
(b)
1 +
n
k=1
p k x k
1 −
n
k=1
p k x k
n
k=1
1 + x k
1 − x k
p k
.
II.4.10. On pose x =
1
n
n
k=1
x k où x 1 , . . . , x n ∈ ]0 , π[. Prouver que
(a)
n
k=1
sin x k (sin x)
n ,
(b)
n
k=1
sin x k
x k
sin x
x
n
.
II.4.11. Prouver que si a > 1 et x 1 , . . . , x n ∈ ]0 , 1[ sont tels que x 1 +. . .+x n = 1,
alors
n
k=1
x k +
1
x k
a
n 2 + 1
a
n a−1 .
II.4.12. Pour n 2, vérifier l’inégalité suivante :
n
k=2
2 k − 1
2 k−1
2 −
2
n
+
1
n2 n−1
n
.
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