Énoncés
II.4. Fonctions convexes
Une fonction f est convexe sur un intervalle I ⊂ R si
f (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 − λ)f (x 2 )
(∗)
pour tout x 1 , x 2 ∈ I et λ ∈ ]0 , 1[. Une fonction convexe f est strictement
convexe sur I si l’inégalité (∗) est stricte pour x 1 = x 2 . La fonction f est
concave sur I si −f est convexe.
II.4.1. Prouver qu’une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I est convexe
si et seulement si f est croissante sur I.
II.4.2. Prouver qu’une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I
est convexe si et seulement si f (x) 0 pour x ∈ I.
II.4.3. Soit f une fonction convexe sur un intervalle I. Prouver l’inégalité de
Jensen :
f (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . . . + λ n x n ) λ 1 f (x 1 ) + λ 2 f (x 2 ) + . . . + λ n f (x n )
pour tous x 1 , . . . , x n ∈ I et tous λ 1 , . . . , λ n positifs tels que λ 1 + . . . + λ n = 1.
II.4.4. Pour x, y > 0 et p, q > 0 tels que
1
p +
1
q = 1, prouver l’inégalité
xy
x p
p
+
y q
q
.
II.4.5. Prouver (6) que
1
n
n
k=1
x k
n
n
k=1
x k pour x 1 , . . . , x n > 0.
II.4.6. Montrer que
e b − e a
b − a
<
e a + e b
2
pour a = b.
(6) Il s’agit de l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique. (N.d.T.)
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