Chapitre II. Dérivation
II.3.39. Soit f une fonction n fois continûment dérivable sur R. Pour a ∈ R,
prouver l’égalité
f
(n) (a) = lim
h→0
1
h n
n
k=0
(−1)
n−k
n
k
f (a + kh)
.
II.3.40. Démontrer la version suivante de la règle de L’Hospital. Soit
f, g : ]a , b[ −→ R, −∞ a < b +∞, deux fonctions dérivables sur ]a , b[.
On suppose de plus que
(i) g (x) = 0 pour x ∈ ]a , b[,
(ii) lim
x→a +
g(x) = +∞ (ou −∞),
(iii) lim
x→a +
f (x)
g (x) = L, −∞ L +∞.
On a alors
lim
x→a +
f (x)
g(x)
= L.
II.3.41. Utiliser la version ci-dessus de la règle de L’Hospital pour prouver la
généralisation suivante des résultats donnés en II.2.32. Soit f une fonction dérivable sur R ∗
+ et a > 0.
(a) Si lim
x→+∞
(af (x) + f (x)) = L, alors lim
x→+∞
f (x) =
L
a .
(b) Si lim
x→+∞
(af (x) + 2
√ xf (x)) = L, alors lim
x→+∞
f (x) =
L
a .
Ces propositions sont-elles valides pour a < 0 ?
II.3.42. Soit f une fonction trois fois dérivable sur R ∗
+ telle que f (x) > 0,
f (x) > 0 et f (x) > 0 pour x > 0. Prouver que si
lim
x→+∞
f (x)f (x)
(f (x))
2 = c, c = 1,
alors
lim
x→+∞
f (x)f (x)
(f (x))
2 =
1
2 − c
.
II.3.43. Soit f ∈ C ∞
]−1,1[ telle que f (0) = 0. Prouver que si g est définie sur
]−1 , 1[ \ {0} par g(x) =
f (x)
x , il existe alors un prolongement C ∞ de g sur ]−1 , 1[.
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