Énoncés
II.3.34. Utiliser la règle de L’Hospital pour déterminer les limites suivantes :
(a) lim
x→1
Arctan
x 2 −1
x 2 +1
x − 1
,
(b) lim
x→+∞
x
1 +
1
x
x
− e
,
(c) lim
x→5
(6 − x)
1
x−5 ,
(d) lim
x→0 +
sin x
x
1
x
,
(e) lim
x→0 +
sin x
x
1
x 2
.
II.3.35. Prouver que si f est deux fois continûment dérivable sur R et telle que
f (0) = 1, f (0) = 0 et f (0) = −1, on a alors, pour tout a ∈ R,
lim
x→+∞
f
a
√ x
x
= e
−
a 2
2 .
II.3.36. Pour a > 0, a = 1, évaluer
lim
x→+∞
a x − 1
x(a − 1)
1
x
.
II.3.37. Peut-on appliquer la règle de L’Hospital pour calculer les limites suivantes ?
(a)
lim
x→+∞
x − sin x
2x + sin x
,
(b)
lim
x→+∞
2x + sin 2x + 1
(2x + sin 2x) (sin x + 3)
2 ,
(c)
lim
x→0 +
2 sin
√
x +
√
x sin
1
x
x
,
(d)
lim
x→0
1 + xe
−
1
x 2 sin
1
x 4
e
1
x 2
.
II.3.38. La fonction définie par
f (x) =
1
x ln 2 −
1
2 x −1
si x = 0,
1
2
si x = 0.
est-elle dérivable en 0 ?
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