Chapitre II. Dérivation
II.3.29. On suppose que f (n+2) est continue sur [0 , x]. Démontrer qu’il existe
θ ∈ ]0 , 1[ tel que
f (x) = f (0) +
f (0)
1!
x + . . . +
f (n−1) (0)
(n − 1)!
x
n−1 +
f (n)
x
n+1
n!
x
n
+
n
2(n + 1)
f
(n+2) (θx)
x n+2
(n + 2)!
.
II.3.30. On suppose que f (n+p) existe sur [a , b] et est continue en x 0 ∈ [a , b].
Prouver que si f (n+j) (x 0 ) = 0 pour j = 1, 2, . . . , p − 1, f (n+p) (x 0 ) = 0 et
f (x) = f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + . . . +
f (n−1) (x 0 )
(n − 1)!
(x − x 0 )
n−1
+
f (n) (x 0 + θ(x)(x − x 0 ))
n!
(x − x 0 )
n ,
alors
lim
x→x 0
θ(x) =
n + p
n
−
1
p
.
II.3.31. Soit f une fonction deux fois continûment dérivable sur ]−1 , 1[ telle
que f (0) = 0. Déterminer
lim
x→0 +
1
√ x
k=1
f (kx).
II.3.32. Soit f une fonction infiniment dérivable sur ]a , b[. Prouver que si
f s’annule en une infinité de points de l’intervalle fermé [c , d] ⊂ ]a , b[ et si
sup
f (n) (x)
: x ∈ ]a , b[
= O(n!) lorsque n tend vers +∞, alors f s’annule
sur un sous-intervalle ouvert de ]a , b[.
II.3.33. Soit f une fonction infiniment dérivable sur R vérifiant
(i) il existe L > 0 tel que
f (n) (x)
L pour tout x ∈ R et tout n ∈ N ∗ ,
(ii) f
1
n
= 0 pour tout n ∈ N ∗ .
Prouver que f (x) ≡ 0 sur R.
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