Énoncés
II.3.24. Soit f une fonction dérivable sur [a , b] telle que f (a) = f (b) = 0.
Prouver que si f est définie sur ]a , b[, il existe alors c ∈ ]a , b[ tel que
f
(c)
4
(b − a)
2 |f (b) − f (a)| .
II.3.25. Soit f : [−1 , 1] −→ R une fonction trois fois dérivable telle que
f (−1) = f (0) = 0, f(1) = 1 et f
(0) = 0.
Prouver qu’il existe c ∈ ]−1 , 1[ tel que f (c) 3.
II.3.26. Soit f une fonction n fois continûment dérivable sur [a , b]. On pose
pour x, t ∈ [a , b] t = x,
Q(t) =
f (x) − f (t)
x − t
.
Prouver la version suivante de la formule de Taylor :
f (x) = f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) + . . . +
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n + r n (x),
où r n (x) =
Q (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n+1 .
II.3.27. Soit f : ]−1 , 1[ −→ R une fonction dérivable en 0. Soit x n et y n deux
suites telles que −1 < x n < y n < 1 (n ∈ N ∗ ) et lim
n→+∞
x n = lim
n→+∞
y n = 0, on
considère le quotient
D n =
f (y n ) − f (x n )
y n − x n
.
Prouver que
(a) si x n < 0 < y n , alors lim
n→+∞
D n = f (0),
(b) si 0 < x n < y n et si la suite
yn
yn−xn
est bornée, alors lim
n→+∞
D n = f (0),
(c) si f existe sur ]−1 , 1[ et est continue en 0, alors lim
n→+∞
D n = f (0).
(Comparer avec II.1.13 et II.1.14.)
II.3.28. Pour m ∈ N ∗ , on définit le polynôme P en posant
P (x) =
m+1
k=0
m + 1
k
(−1)
k (x − k)
m , x ∈ R.
Prouver que P (x) ≡ 0.
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