Chapitre II. Dérivation
II.3.18. Soit f une fonction deux fois dérivable sur ]a , +∞[, a ∈ R. On pose
M k = sup
f
(k) (x)
: x ∈ ]a , +∞[
< +∞, k = 0, 1, 2.
Prouver (4) que M 1 2
√
M 0 M 2 . Donner un exemple de fonction pour laquelle
l’égalité M 1 = 2
√
M 0 M 2 est atteinte.
II.3.19. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. On pose
M k = sup
f
(k) (x)
: x ∈ R
< +∞, k = 0, 1, 2.
Prouver que M 1
√
2M 0 M 2 .
II.3.20. Soit f une fonction p fois dérivable sur R. On pose
M k = sup
f
(k) (x)
: x ∈ R
< +∞, k = 0, 1, . . . , p, p 2.
Prouver (5) que
M k 2
k(p−k)
2
M
1−
k
p
0
M
k
p
p
pour k = 1, 2, . . . , p − 1.
II.3.21. Soit f : R ∗
+ −→ R une fonction telle que f existe et est bornée sur R ∗
+
et lim
x→+∞
f (x) = 0. Prouver que lim
x→+∞
f (x) = 0.
II.3.22. Soit f une fonction deux fois continûment dérivable sur R ∗
+ telle que
lim
x→+∞
xf (x) = 0 et
lim
x→+∞
xf
(x) = 0.
Prouver que lim
x→+∞
xf (x) = 0.
II.3.23. Soit f une fonction deux fois continûment dérivable sur ]0 , 1[ telle que
(i) lim
x→1 −
f (x) = 0,
(ii) il existe M > 0 tel que (1 − x)
2
|f (x)| M pour x ∈ ]0 , 1[.
Prouver que lim
x→1 −
(1 − x)f (x) = 0.
(4) Inégalité de Landau. (N.d.T.)
(5) Inégalités de Kolmogorov . (N.d.T.)
148