Chapitre II. Dérivation
II.3.8. Soit f, g ∈ C 2
[0,1] telles que f (0)g (0) = f (0)g (0) et g (x) = 0 pour
x ∈ ]0 , 1[. Pour x ∈ ]0 , 1[, on note θ(x) un des réels pour lesquels l’égalité dans
le théorème des accroissements finis généralisé est vérifiée, autrement dit, tel que
f (x) − f (0)
g(x) − g(0)
=
f (θ(x))
g (θ(x))
.
Calculer
lim
x→0 +
θ(x)
x
.
II.3.9. Soit f : R −→ R une fonction n + 1 fois dérivable sur R. Prouver que
pour tout x ∈ R, il existe θ ∈ ]0 , 1[ tel que
(a)
f (x) = f (0) + xf
(x) −
x 2
2
f
(x) + . . . + (−1)
n+1 x n
n!
f
(n) (x)
+ (−1)
n+2 x n+1
(n + 1)!
f
(n+1) (θx),
(b)
f
x
1 + x
= f (x) −
x 2
1 + x
f
(x) + . . . + (−1)
n
x 2n
(1 + x)
n
f (n) (x)
n!
+ (−1)
n+1
x 2n+2
(1 + x)
n+1
f (n+1)
x+θx 2
1+x
(n + 1)!
, x = −1.
II.3.10. Soit f : R −→ R une fonction 2n + 1 fois dérivable sur R. Prouver que
pour tout x ∈ R, il existe θ ∈ ]0 , 1[ tel que
f (x) = f (0) +
2
1!
f
x
2
x
2
+
2
3!
f
(3)
x
2
x
2
3
+ . . .
+
2
(2n − 1)!
f
(2n−1)
x
2
x
2
2n−1
+
2
(2n + 1)!
f
(2n+1) (θx)
x
2
2n+1
.
II.3.11. Prouver, en utilisant le résultat du problème précédent, que
ln(1 + x) > 2
n
k=0
1
2k + 1
x
2 + x
2k+1
pour n ∈ N et x > 0.
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