Énoncés
II.3.3. Déduire du résultat précédent les formes suivantes du reste :
(a)
r n (x) =
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ))
(n + 1)!
(x − x 0 )
n+1
(reste de Lagrange),
(b)
r n (x) =
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ))
n!
(1 − θ)
n (x − x 0 )
n+1
(reste de Cauchy).
II.3.4. Soit f : [a , b] −→ R une fonction n + 1 fois dérivable sur [a , b]. Pour
x, x 0 ∈ [a , b], prouver la formule de Taylor avec reste intégral :
f (x) = f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) +
f (x 0 )
2!
(x − x 0 )
2
+ . . . +
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n +
1
n!
x
x 0
f
(n+1) (t) (x − t)
n dt.
II.3.5. Soit f : [a , b] −→ R une fonction n + 1 fois dérivable sur [a , b]. Pour
x, x 0 ∈ [a , b], prouver la formule de Taylor suivante :
f (x) = f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) +
f (x 0 )
2!
(x − x 0 )
2
+ . . . +
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n + R n+1 (x),
où
R n+1 (x) =
x
x 0
t n+1
x 0
tn
x 0
· · ·
t 2
x 0
f
(n+1) (t 1 ) dt 1 · · · dt n dt n+1 .
II.3.6. Montrer que l’approximation
√
1 + x ≈ 1 +
1
2
x −
1
8
x
2
donne
√
1 + x avec une erreur inférieure à
1
2 |x|
3 si |x| <
1
2 .
II.3.7. Pour x > −1, x = 0, montrer que
(a) (1 + x)
α > 1 + αx si α > 1 ou α < 0,
(b) (1 + x)
α < 1 + αx si 0 < α < 1.
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