Chapitre II. Dérivation
II.2.40. Soit f ∈ C ∞
]−1,1[ et J ⊂ ]−1 , 1[ un intervalle de longueur λ. L’intervalle J
est décomposé en trois intervalles consécutifs J 1 , J 2 et J 3 de longueurs respectives
λ 1 , λ 2 et λ 3 (on a donc J 1 ∪ J 2 ∪ J 3 = J et λ 1 + λ 2 + λ 3 = λ). Prouver que si
m k (J) = inf
f
(k) (x)
: x ∈ J
, k ∈ N
∗ ,
alors
m k (J)
1
λ 2
(m k−1 (J 1 ) + m k−1 (J 3 )) .
II.2.41. Prouver que sous les hypothèses du problème précédent, si |f (x)| 1
pour x ∈ ]−1 , 1[, alors
m k (J)
2
k(k+1)
2
k k
λ k
, k ∈ N
∗ .
II.2.42. Soit P = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 un polynôme admettant n
racines réelles distinctes. Prouver que s’il existe p, 1 p n − 1, tel que a p = 0
et a i = 0 pour tout i = p, alors a p−1 a p+1 < 0.
II.3. Formule de Taylor et règle de L’Hospital
II.3.1. Soit f : [a , b] −→ R une fonction n−1 fois dérivable sur [a , b]. Si f (n) (x 0 )
existe, alors pour tout x ∈ [a , b],
f (x) = f (x 0 ) +
f (x 0 )
1!
(x − x 0 ) +
f (x 0 )
2!
(x − x 0 )
2
+ . . . +
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n + o ((x − x 0 )
n ) .
Cette formule est appelée formule de Taylor avec reste de Peano (3) .
II.3.2. Soit f : [a , b] −→ R une fonction n fois continûment dérivable sur [a , b]
telle que f (n+1) existe sur ]a , b[. Prouver que pour tous x, x 0 ∈ [a , b] et tout p > 0,
il existe θ ∈ ]0 , 1[ tel que
f (x) = f (x 0 )+
f (x 0 )
1!
(x − x 0 )+
f (x 0 )
2!
(x − x 0 )
2 +. . .+
f (n) (x 0 )
n!
(x − x 0 )
n +r n (x),
où
r n (x) =
f (n+1) (x 0 + θ(x − x 0 ))
n! p
(1 − θ)
n+1−p (x − x 0 )
n+1
est le reste de Schlömilch-Roche.
(3) Ou encore, dans la terminologie française, formule de Taylor avec reste de Young. (N.d.T.)
144