Chapitre II. Dérivation
II.2.29. Montrer que les seules fonctions f : R −→ R vérifiant l’équation
f (x + h) − f (x)
h
= f
x +
1
2
h
, x,h ∈ R, h = 0,
sont les polynômes du second degré.
II.2.30. Pour p et q strictement positifs tels que p + q = 1, trouver toutes les
fonctions f : R −→ R vérifiant l’équation
f (x) − f (y)
x − y
= f
(px + qy) pour x, y ∈ R, x = y.
II.2.31. Prouver (2) que si f est dérivable sur un intervalle I, alors f vérifie la
propriété des valeurs intermédiaires sur I.
II.2.32. Soit f une fonction définie et dérivable sur R ∗
+ . Prouver que
(a) si lim
x→+∞
(f (x) + f (x)) = 0, alors lim
x→+∞
f (x) = 0,
(b) si lim
x→+∞
(f (x) + 2
√ xf (x)) = 0, alors lim
x→+∞
f (x) = 0.
II.2.33. Prouver que si f ∈ C 2
[a,b] admet au moins trois zéros distincts dans
[a , b], l’équation f (x) + f (x) = 2f (x) admet alors au moins une racine dans
[a , b].
II.2.34. Prouver que si le polynôme P admet au moins n racines distinctes
strictement supérieures à 1, alors le polynôme
Q(x) =
x
2 + 1
P (x)P
(x) + x
(P (x))
2 +
P
(x)
2
admet au moins 2n − 1 racines réelles distinctes.
II.2.35. Soit P (x) = a m x m + . . . + a 1 x + a 0 , a m > 0, un polynôme ayant m
racines réelles distinctes. Prouver que le polynôme Q(x) = (P (x))
2
− P (x) admet
(a) exactement m + 1 racines réelles distinctes si m est impair,
(b) exactement m racines réelles distinctes si m est pair.
(2) Théorème de Darboux . (N.d.T.)
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