Énoncés
II.2.22. Prouver que si f est dérivable sur ]a , b[ et si
lim
x→a +
f (x) = +∞,
lim
x→b −
f (x) = −∞,
(i)
f
(x) + f
2 (x) + 1 0 pour tout x ∈ ]a , b[ ,
(ii)
alors b − a π.
II.2.23. Soit f une fonction continue sur [a , b] et dérivable sur ]a , b[. Prouver
que si lim
x→b −
f (x) = A, alors f
− (b) = A.
II.2.24. Soit f une fonction dérivable sur R ∗
+ telle que f (x) = O(x) lorsque x
tend vers +∞. Prouver que f (x) = O
x 2
lorsque x tend vers +∞.
II.2.25. Soit f 1 , f 2 , . . . , f n et g 1 , g 2 , . . . , g n des fonctions continues sur [a , b],
dérivables sur ]a , b[ et telles que g k (a) = g k (b) pour tout k = 1, 2, . . . , n. Prouver
qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que
n
k=1
f
k (c) =
n
k=1
g
k (c)
f k (b) − f k (a)
g k (b) − g k (a)
.
II.2.26. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et [a , b] ⊂ I. On
dit que f est uniformément dérivable sur [a , b] si pour tout ε > 0, il existe δ > 0
tel que
f (x + h) − f (x)
h
− f
(x)
< ε
pour tout x ∈ [a , b] et |h| < δ, x + h ∈ I. Prouver que f est uniformément
dérivable sur [a , b] si et seulement si f est continue sur [a , b].
II.2.27. Soit f une fonction continue sur [a , b] et g une fonction dérivable sur
]a , b[ telle que g(a) = 0. Prouver que s’il existe λ = 0 tel que
g(x)f (x) + λg
(x)
|g(x)| pour x ∈ [a , b],
alors g(x) ≡ 0 sur [a , b].
II.2.28. Soit f une fonction dérivable sur R ∗
+ . Prouver que lim
x→+∞
|f (x)| = 0 si
lim
x→+∞
f (x)
x = 0.
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