Chapitre II. Dérivation
II.2.14. Soit f , g et h des fonctions continues sur [a , b] et dérivables sur ]a , b[.
On pose
F (x) = det
⎛
⎝
f (x) g(x) h(x)
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
⎞
⎠ , x ∈ [a , b].
Prouver qu’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que F (x 0 ) = 0. En déduire le théorème des
accroissements finis et le théorème des accroissements finis généralisé.
II.2.15. Soit f une fonction continue sur [0 , 2], deux fois dérivable sur ]0 , 2[.
Montrer que si f (0) = 0, f (1) = 1 et f (2) = 2, il existe alors x 0 ∈ ]0 , 2[ tel que
f (x 0 ) = 0.
II.2.16. Soit f une fonction continue sur [a , b] et dérivable sur ]a , b[. Prouver
que si f n’est pas une fonction affine, il existe x 1 et x 2 dans ]a , b[ tels que
f
(x 1 ) <
f (b) − f (a)
b − a
< f
(x 2 ).
II.2.17. Soit f une fonction continue sur [0 , 1] et dérivable sur ]0 , 1[ telle que
f (0) = f (1) = 0 et telle qu’il existe x 0 ∈ ]0 , 1[ vérifiant f (x 0 ) = 1. Prouver qu’il
existe c ∈ ]0 , 1[ tel que |f (c)| > 2.
II.2.18. Soit f une fonction continue sur [a , b] (a > 0) et dérivable sur ]a , b[.
Prouver qu’il existe x 1 ∈ ]a , b[ tel que
bf (a) − af (b)
b − a
= f (x 1 ) − x 1 f
(x 1 ).
II.2.19. Montrer que les fonctions x → ln(1 + x), x → ln
1 + x 2
et
x → Arctan x sont uniformément continues sur R + .
II.2.20. Soit f une fonction deux fois dérivable sur ]a , b[ telle qu’il existe M 0
vérifiant |f (x)| M pour tout x ∈ ]a , b[. Prouver que f est uniformément
continue sur ]a , b[.
II.2.21. Soit a et b deux réels tels que b − a 4 et f : [a , b] −→ R une fonction
dérivable sur l’intervalle ouvert ]a , b[. Prouver qu’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que
f
(x 0 ) < 1 + f
2 (x 0 ).
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II.2.14. Soit f , g et h des fonctions continues sur [a , b] et dérivables sur ]a , b[.
On pose
F (x) = det
⎛
⎝
f (x) g(x) h(x)
f (a) g(a) h(a)
f (b) g(b) h(b)
⎞
⎠ , x ∈ [a , b].
Prouver qu’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que F (x 0 ) = 0. En déduire le théorème des
accroissements finis et le théorème des accroissements finis généralisé.
II.2.15. Soit f une fonction continue sur [0 , 2], deux fois dérivable sur ]0 , 2[.
Montrer que si f (0) = 0, f (1) = 1 et f (2) = 2, il existe alors x 0 ∈ ]0 , 2[ tel que
f (x 0 ) = 0.
II.2.16. Soit f une fonction continue sur [a , b] et dérivable sur ]a , b[. Prouver
que si f n’est pas une fonction affine, il existe x 1 et x 2 dans ]a , b[ tels que
f
(x 1 ) <
f (b) − f (a)
b − a
< f
(x 2 ).
II.2.17. Soit f une fonction continue sur [0 , 1] et dérivable sur ]0 , 1[ telle que
f (0) = f (1) = 0 et telle qu’il existe x 0 ∈ ]0 , 1[ vérifiant f (x 0 ) = 1. Prouver qu’il
existe c ∈ ]0 , 1[ tel que |f (c)| > 2.
II.2.18. Soit f une fonction continue sur [a , b] (a > 0) et dérivable sur ]a , b[.
Prouver qu’il existe x 1 ∈ ]a , b[ tel que
bf (a) − af (b)
b − a
= f (x 1 ) − x 1 f
(x 1 ).
II.2.19. Montrer que les fonctions x → ln(1 + x), x → ln
1 + x 2
et
x → Arctan x sont uniformément continues sur R + .
II.2.20. Soit f une fonction deux fois dérivable sur ]a , b[ telle qu’il existe M 0
vérifiant |f (x)| M pour tout x ∈ ]a , b[. Prouver que f est uniformément
continue sur ]a , b[.
II.2.21. Soit a et b deux réels tels que b − a 4 et f : [a , b] −→ R une fonction
dérivable sur l’intervalle ouvert ]a , b[. Prouver qu’il existe x 0 ∈ ]a , b[ tel que
f
(x 0 ) < 1 + f
2 (x 0 ).
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