Énoncés
II.2.7. Soit a 0 , a 1 , . . . , a n des réels tels que
a 0
1
+
2a 1
2
+
2 2 a 2
3
+ . . . +
2 n−1 a n−1
n
+
2 n a n
n + 1
= 0.
Prouver que la fonction
f (x) = a n ln
n x + . . . + a 2 ln
2 x + a 1 ln x + a 0
a au moins une racine dans
1 , e 2
.
II.2.8. Prouver que si toutes les racines d’un polynôme P de degré n 2 sont
réelles, alors toutes les racines de P le sont aussi.
II.2.9. Soit f une fonction continûment dérivable sur [a , b], deux fois dérivable
sur ]a , b[ et telle que f (a) = f (a) = f (b) = 0. Prouver qu’il existe x 1 ∈ ]a , b[ tel
que f (x 1 ) = 0.
II.2.10. Soit f une fonction continûment dérivable sur [a , b], deux fois dérivable
sur ]a , b[ et telle que f (a) = f (b) et f (a) = f (b) = 0. Prouver qu’il existe
x 1 , x 2 ∈ ]a , b[, x 1 = x 2 , tels que
f
(x 1 ) = f
(x 2 ).
II.2.11. Montrer que chacune des équations
(a) x 13 + 7x 3 − 5 = 0,
(b) 3 x + 4 x = 5 x
admet exactement une racine réelle.
II.2.12. Soit a 1 , a 2 , . . . , a n des réels non nuls et α 1 , α 2 , . . . , α n des réels tels que
α i = α j pour i = j. Prouver que l’équation
a 1 x
α 1 + a 2 x
α 2 + . . . + a n x
αn = 0 (x ∈ R
∗
+ )
a au plus n − 1 racines dans R ∗
+ .
II.2.13. Prouver que sous les hypothèses du problème précédent, l’équation
a 1 e
α 1 x + a 2 e
α 2 x + . . . + a n e
αnx = 0
a au plus n − 1 racines réelles.
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