Chapitre II. Dérivation
II.2. Théorème des accroissements finis
II.2.1. Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a , b], dérivable sur
l’intervalle ouvert ]a , b[ et telle que f (a) = f (b) = 0. Prouver que pour tout α ∈ R,
il existe x ∈ ]a , b[ tel que
αf (x) + f
(x) = 0.
II.2.2. Soit f et g des fonctions continues sur [a , b] et dérivables sur l’intervalle
ouvert ]a , b[, la fonction f vérifiant f (a) = f (b) = 0. Prouver qu’il existe x ∈ ]a , b[
tel que g (x)f (x) + f (x) = 0.
II.2.3. Soit f une fonction continue sur [a , b] (a > 0) et dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a , b[. Démontrer que si
f (a)
a
=
f (b)
b
,
il existe alors x 0 ∈ ]a , b[ tel que x 0 f (x 0 ) = f (x 0 ).
II.2.4. Soit f une fonction continue sur [a , b] et dérivable sur l’intervalle ouvert
]a , b[. Prouver que si f 2 (b) − f 2 (a) = b 2 − a 2 , l’équation f (x)f (x) = x admet
alors au moins une racine dans ]a , b[.
II.2.5. Soit f et g des fonctions continues et ne s’annulant pas sur [a , b] et
dérivables sur l’intervalle ouvert ]a , b[. Prouver que si f (a)g(b) = f (b)g(a), il
existe alors x 0 ∈ ]a , b[ tel que
f (x 0 )
f (x 0 )
=
g (x 0 )
g(x 0 )
.
II.2.6. Soit a 0 , a 1 , . . . , a n des réels tels que
a 0
n + 1
+
a 1
n
+ . . . +
a n−1
2
+ a n = 0.
Prouver que le polynôme P (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n a au moins une racine
dans ]0 , 1[.
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