Énoncés
II.1.37. Soit f une fonction n fois dérivable sur R ∗
+ . Prouver que
1
x n+1 f
(n)
1
x
= (−1)
n
x
n−1 f
1
x
(n)
pour x > 0.
II.1.38. Soit I, J des intervalles ouverts et f : J −→ R, g : I −→ J des fonctions
infiniment dérivables, respectivement sur J et sur I. Démontrer la formule de Faà
di Bruno donnant la dérivée n-ième de h = f ◦ g :
h
(n) (t) =
n!
k 1 !k 2 ! · · · k n !
f
(k) (g(t))
g (1) (t)
1!
k 1
g (2) (t)
2!
k 2
· · ·
g (n) (t)
n!
kn
,
où k = k 1 + k 2 + . . . + k n et la sommation est faite sur l’ensemble des indices
k 1 , k 2 , . . . , k n tels que k 1 + 2k 2 + . . . + nk n = n.
II.1.39. Prouver que les fonctions
(a) f (x) =
e
−
1
x 2
si x = 0,
0
si x = 0,
(b) g(x) =
e
−
1
x 2
si x > 0,
0
si x 0,
(c) h(x) =
e
−
1
x−a
+
1
x−b
si x ∈ ]a , b[,
0
si x /
∈ ]a , b[,
appartiennent à C ∞
R .
II.1.40. Soit f une fonction dérivable sur ]a , b[ telle que pour tout x ∈ ]a , b[,
on a f (x) = g(f (x)) où g ∈ C ∞
R . Prouver que f ∈ C ∞
]a,b[ .
II.1.41. Soit f une fonction deux fois dérivable sur ]a , b[ telle qu’il existe des
réels α, β, γ vérifiant α 2 + β 2 > 0 et
αf
(x) + βf
(x) + γf (x) = 0 pour tout x ∈ ]a , b[.
Prouver que f ∈ C ∞
]a,b[ .
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