Chapitre II. Dérivation
II.1.31. Montrer que
(a) (e
x sin x)
(n) = 2
n
2 e
x sin
x + n
π
4
, x ∈ R, n 1,
(b) (x
n ln x)
(n) = n!
ln x + 1 +
1
2
+ . . . +
1
n
, x > 0, n 1,
(c)
ln x
x
(n)
= (−1)
n n!x
−n−1
ln x − 1 −
1
2
− . . . −
1
n
, x > 0, n 1,
(d)
x
n−1 e
1
x
(n)
= (−1)
n e
1
x
x n+1 , x = 0, n 1.
II.1.32. Prouver les identités suivantes :
(a)
n
k=0
n
k
sin
x + k
π
2
= 2
n
2 sin
x + n
π
4
, x ∈ R, n 1,
(b)
n
k=1
(−1)
k+1 1
k
n
k
= 1 +
1
2
+ . . . +
1
n
, n 1.
II.1.33. On pose f (x) =
√
x 2 − 1 pour x > 1. Prouver que f (n) (x) > 0 si n est
impair et f (n) (x) < 0 si n est pair et strictement positif.
II.1.34. On pose f 2n (x) = ln
1 + x 2n
, n ∈ N ∗ . Prouver que f
(2n)
2n (−1) = 0.
II.1.35. Soit P un polynôme de degré n. Prouver que
n
k=0
P (k) (0)
(k + 1)!
x
k+1 =
n
k=0
(−1)
k P (k) (x)
(k + 1)!
x
k+1 .
II.1.36. Soit λ 1 , λ 2 , . . . , λ n des réels tels que λ k
1 + λ k
2 + . . . + λ k
n > 0 pour tout
k ∈ N ∗ . La fonction f donnée par
f (x) =
1
(1 − λ 1 x)(1 − λ 2 x) · · · (1 − λ n x)
est alors bien définie dans un certain voisinage de 0. Démontrer que f (k) (0) > 0
pour tout k ∈ N ∗ .
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