Énoncés
II.1.23. Démontrer que si les dérivées à gauche et à droite f
− (x 0 ) et f
+ (x 0 )
existent, la fonction f est alors continue en x 0 .
II.1.24. Prouver que si f : ]a , b[ −→ R atteint son maximum en c ∈ ]a , b[,
autrement dit, f (c) = max {f (x) : x ∈ ]a , b[} et si les dérivées à gauche et à
droite f
− (c) et f
+ (c) existent, alors f
− (c) 0 et f
+ (c) 0. Établir une condition
nécessaire semblable pour que f atteigne son minimum.
II.1.25. Prouver que si f ∈ C [a,b] , f (a) = f (b) et si f
− existe sur ]a , b[, alors
inf
f
− (x) : x ∈ ]a , b[
0 sup
f
− (x) : x ∈ ]a , b[
.
II.1.26. Prouver que si f ∈ C [a,b] et si f
− existe sur ]a , b[, alors
inf
f
− (x) : x ∈ ]a , b[
f (b) − f (a)
b − a
sup
f
− (x) : x ∈ ]a , b[
.
II.1.27. Prouver que si f
− existe et est continue sur ]a , b[, alors f est dérivable
sur ]a , b[ et f (x) = f
− (x) pour tout x ∈ ]a , b[.
II.1.28. Existe-t-il une fonction f : ]1 , 2[ −→ R telle que
f
− (x) = x et f
+ (x) = 2x
pour x ∈ ]1 , 2[ ?
II.1.29. Soit f une fonction dérivable sur [a , b] telle que
f (a) = f (b) = 0,
(i)
f
(a) = f
+ (a) > 0, f
(b) = f
− (b) > 0.
(ii)
Prouver qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que f (c) = 0 et f (c) 0.
II.1.30. Montrer que f (x) = Arctan x vérifie l’équation
1 + x
2
f
(n) (x) + 2(n − 1)xf
(n−1) (x) + (n − 2)(n − 1)f
(n−2) (x) = 0
pour tout x ∈ R et n 2. Montrer aussi que pour m 0,
f
(2m) (0) = 0, f
(2m+1) (0) = (−1)
m (2m)! .
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